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  • Ciao Xavier310,

    il primo limite è un confronto tra infiniti, gli esponenziali al denominatore si sottraggono, è vero, ma 5n>>2n se n tende a infinito. Inoltre n2 al numeratore diverge all'infinito molto più lentamente del denominatore, quindi il risultato del limite è 0.

     

    Per il secondo vale lo stesso discorso, riscrivilo come

     

    \lim_{n\to +\infty}n\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n=0

     

    Per quanto riguarda l'ultimo limite spezziamo in due la frazione:

     

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{2^n}{(n+1)!}}

     

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{n!}{(n+1)n!}+\frac{2^n}{(n+1)!}}

     

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{1}{(n+1)}+\frac{2^n}{(n+1)!}}=0

     

    Ecco fatto!

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • C'è un modo per dimostrare il risultato del primo e del secondo limite?

    Risposta di xavier310
  • si, ad esempio con un confronto grafico, per vedere quale curva va più velocemente all'infinito.

     

    Nel primo limite si ha

     

    alt 

     

    Dove la funzione nera è 

     

    n^2+1

     

    mentre quella rossa è

     

    -(2^n-5^n)

     

    Le ho messo un meno davanti per farla tendere a più infinito, infatti non ti interessa a quale infinito tende la funzione, ma quanto velocemente.

     

    Come vedi la funzione rossa è nettamente più ripida, quindi essendo al denominatore porta la frazione a zero.

     

    Per l'altro limite si ha

     

    alt

     

     

     Dove la funzione nera è

     

    n2^n

     

    mentre quella rossa è

     

    3^n

     

    Come vedi anche qui la funzione rossa è molto più ripida di quella nera, quindi porta la frazione a zero!

    Risposta di Alpha
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