Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare il limite di una funzione esponenziale con base variabile per x\to0, ossia

    \lim_{x\to0}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}=(\bullet)

    che si presenta nella forma indeterminata [0^{0}]. Possiamo risolvere la forma di indecisione ricorrendo all'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    y=e^{\log(y)}\ \ \ \mbox{per} \ y>0

    grazie alla quale il limite si esprime nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to0}e^{\log\left(\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}\right)}=

    e invocando le proprietà dei logaritmi diventa

    \\ =\lim_{x\to0}e^{x\log\left(\frac{x}{x+1}\right)}= \\ \\ =\lim_{x\to0}e^{x\left(\log(x)-\log(x+1)\right)}= 

    Distribuiamo x all'esponente

    =\lim_{x\to0}e^{x\log(x)-x\log(x+1)}=

    e utilizziamo le proprietà delle potenze, mediante le quali giungiamo al limite

    =\lim_{x\to0}\frac{e^{x\log(x)}}{e^{x\log(x+1)}}=(\bullet\bullet)

    Osserviamo che quando x\to0 il denominatore tende a 1, infatti

    \lim_{x\to0}e^{x\log(x+1)}=e^{0\cdot 0}=e^{0}=1

    pertanto possiamo ridurre il limite e calcolarne il valore

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to0}e^{x\log(x)}=e^{0}=1

    Il risultato si giustifica tenendo a mente il famoso limite

    \lim_{x\to0}x\log(x)=0

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi