Soluzioni
  • L'equazione goniometrica

    2\sin^2(x)+\sin(2x)-\sqrt{2}\sin(x)=0

    presenta alcune peculiarità: innanzitutto osserviamo che i seni che la compongono non hanno il medesimo argomento (questo è un male) e come se non bastasse compare un seno al quadrato. Per poter ricavare le soluzioni, dobbiamo obbligatoriamente affidarci alle formule goniometriche per fare sì che l'equazione si riconduca a qualcosa di notevole.

    Iniziamo dalla formula di duplicazione del seno

    \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    con la quale l'equazione diventa

    2\sin^2(x)+2\sin(x)\cos(x)-\sqrt{2}\sin(x)=0

    Raccogliamo il fattore comune \sin(x)

    \sin(x)(2\sin(x)+2\cos(x)-\sqrt{2})=0

    e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se è nullo almeno uno dei fattori che lo compongono. Impostiamo quindi le relazioni

    \sin(x)=0 \ \ \ ,\ \ \ 2\sin(x)+2\cos(x)-\sqrt{2}=0

    e risolviamole singolarmente partendo dalla prima.

    \sin(x)=0

    è un'equazione goniometrica elementare, soddisfatta dai valori

    x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    Per quanto concerne

    2\sin(x)+2\cos(x)-\sqrt{2}=0

    essa è un'equazione lineare in seno e coseno che possiamo risolvere con il metodo dell'angolo aggiunto. Tale metodo prevede di calcolare a partire dai coefficienti di seno e coseno un numero reale positivo R e un angolo \phi compreso tra 0 \ \mbox{e}\ 2\pi  che permettono di esprimere

    2\sin(x)+2\cos(x)

    nella forma

    R\sin\left(x+\phi\right)

    Indichiamo con A\ \mbox{e} \ B i coefficienti di seno e coseno

    A=2 \ \ \ , \ \ \ B=2

    e calcoliamo R con la formula

    R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    Per ottenere l'angolo aggiunto \phi è sufficiente risolvere il sistema goniometrico

    \begin{cases}\sin(\phi)=\frac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\frac{A}{R}\end{cases}

    che nel nostro caso diventa

    \begin{cases}\sin(\phi)=\frac{2}{2\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\phi)=\frac{2}{2\sqrt{2}}\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}\sin(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Nell'intervallo [0,2\pi), l'unico angolo che soddisfa il sistema è \phi=\frac{\pi}{4}, pertanto

    2\sin(x)+2\cos(x)=2\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\  \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Siamo quindi autorizzati a riscrivere l'equazione data nella forma

    2\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}=0

    o equivalentemente

    \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\ \ \ \to \ \ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}

    Essa è un'equazione elementare che possiamo risolvere tenendo conto dei valori notevoli del seno e della periodicità della funzione goniometrica. Ricordiamo infatti che il seno di un angolo vale \frac{1}{2} se e  solo se l'angolo assume una delle forme

    \frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ , \  \ \ \frac{5\pi}{6}+2k\pi

    al variare di k nell'insieme dei numeri interi. Dobbiamo impostare pertanto le seguenti relazioni

    \\ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi \\ \\ \\ x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi

    grazie alle quali possiamo affermare che l'equazione

    2\sin(x)+2\cos(x)-\sqrt{2}=0

    è soddisfatta dai valori

    x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi

    e concludere che le soluzioni di

    2\sin^2(x)+\sin(2x)-\sqrt{2}\sin(x)=0

    sono

    \\ x=k\pi \\ \\ \\ x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi

    al variare di k\in\mathbb{Z}.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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