Soluzioni
  • L'esercizio chiede di risolvere l'equazione di primo grado

    \dfrac{\dfrac{x+1}{2}-1}{\dfrac{3}{4}-1}=\dfrac{\dfrac{5x-2}{3}-1}{\dfrac{4}{3}+1}

    Per prima cosa eseguiamo i calcoli ai numeratori principali delle due frazione calcolando i denominatori comuni

    \dfrac{\dfrac{x+1-2}{2}}{\dfrac{3}{4}-1}=\dfrac{\dfrac{5x-2-3}{3}}{\dfrac{4}{3}+1}

    Sommati i termini simili ricaviamo

    \dfrac{\dfrac{x-1}{2}}{\dfrac{3}{4}-1}=\dfrac{\dfrac{5x-5}{3}}{\dfrac{4}{3}+1}

    Ora dedichiamoci ai denominatori principali sommando tra loro le frazioni,

    \\ \dfrac{\dfrac{x-1}{2}}{\dfrac{3-4}{4}}=\dfrac{\dfrac{5x-5}{3}}{\dfrac{4+3}{3}} \\ \\ \\ \dfrac{\dfrac{x-1}{2}}{-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\dfrac{5x-5}{3}}{\dfrac{7}{3}}

    Possiamo esprimere entrambe le frazioni di frazioni in forma normale, moltiplicando i numeratori principale per le frazioni reciproche che si trovano a denominatore

    \frac{x-1}{2}\cdot (-4)=\frac{5x-5}{3}\cdot\frac{3}{7}

    Semplifichiamo in croce le frazioni ed eseguiamo i prodotti usando a dovere la regola dei segni

    -2(x-1)=\frac{5x-5}{7}

    A questo punto interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni, il quale garantisce che moltiplicando a destra e a sinistra per 7 otteniamo un'equazione equivalente:

    7\cdot(-2)(x-1)=\frac{5x-5}{7}\cdot 7

    Questa operazione non cambia l'insieme soluzione ma permette di semplificare il denominatore

    -14(x-1)=5x-5

    Eseguiamo i semplici calcoli rimasti

    -14x+14=5x-5

    e trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro, mentre quelli senza incognita al secondo. Ricordiamoci di cambiare i segni a quei termini che attraversano il simbolo di uguale

    \\ -14x-5x=-14-5\\ \\ -19x=-19

    Cambiamo segni a destra e a sinistra e infine isoliamo l'incognita al primo membro dividendo per 19

    19x=19 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{19}{19}

    Riduciamo la frazione ai minimi termini

    x=1

    e concludiamo l'esercizio asserendo che l'equazione è determinata e ha come insieme soluzione S=\{1\}.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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