Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2\sin^2(x))}{e^{x^2}-1}

    ricorreremo ai seguenti limiti notevoli:

    - il limite notevole del logaritmo

    \lim_{x\to x_0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1\ \ \ \mbox{dove} \ \ \ f(x)\to 0 \ \ \ \mbox{per} \ x\to x_{0}

    Per poterlo applicare, l'argomento del logaritmo deve tendere a 1, inoltre al denominatore deve comparire l'infinitesimo f(x);

    - Il limite notevole della funzione seno

    \lim_{x\to x_0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1 \ \ \ \mbox{con} \ \ \ \f(x)\to 0 \ \ \ \mbox{per}\ x\to x_0

    Si può applicare a patto che l'argomento del seno sia infinitesimo per x\to x_0;

    - Il limite notevole della funzione esponenziale

    \lim_{x\to x_0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1 \ \ \ \mbox{con} \ \ \ f(x)\to 0\ \ \ \mbox{per} \ x\to x_0

    Esso è caratterizzato dal fatto che al denominatore figura esattamente l'esponente di e^{f(x)}, che dev'essere obbligatoriamente infinitesimo per x\to x_0.

    Dopo il breve preambolo teorico, torniamo al limite dato.

    \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2\sin^2(x))}{e^{x^2}-1}=

    Per prima cosa moltiplichiamo e dividiamo per 2\sin^2(x) così da ricondurci al limite notevole del logaritmo

    =\lim_{x\to 0}\overbrace{\frac{\ln(1+2\sin^2(x))}{2\sin^2(x)}}^{\to 1}\cdot\frac{2\sin^2(x)}{e^{x^2}-1}=

    Il primo fattore tende a 1, per cui il limite da calcolare diventa

    =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2(x)}{e^{x^2}-1}=

    Per innescare il limite notevole del seno, moltiplichiamo e dividiamo per x^2

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2(x)}{x^2}\cdot\frac{x^2}{e^{x^2}-1}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}2\left[\frac{\sin(x)}{x}\right]^2\cdot\frac{x^2}{e^{x^2}-1}=

    Poiché la base del quadrato tende a 1 (per via del limite notevole del seno), ricaviamo il limite

    =\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{e^{x^2}-1}=

    Moltiplichiamo e dividiamo per x^2 il denominatore così da ricondurci al limite notevole dell'esponenziale.

    =\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{x^2\left(\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}\right)}=

    Semplifichiamo l'x^2 del numeratore principale con l'x^2 che figura nel denominatore principale.

    =\lim_{x\to 0}\frac{2}{\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}}=2

    Il limite è 2 perché il denominatore principale tende a 1.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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