Soluzioni
  • Siamo di fronte ad una disequazione irrazionale con valore assoluto:

    |x|-\sqrt{x^2-1}<-2

    La prima cosa da fare è occuparsi del valore assoluto. Per definizione di modulo la disequazione di partenza si riconduce ai due sistemi:

    \begin{cases}x\ge 0 \\ x-\sqrt{x^2-1}<-2\end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}x<0 \\ -x-\sqrt{x^2-1}<-2\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}x\ge 0 \\ \sqrt{x^2-1}>x+2\end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}x<0 \\ \sqrt{x^2-1}>2-x\end{cases}

    le cui soluzioni vanno unite; risolviamo i due sistemi di disequazioni separatamente.

     

    Primo sistema

    \begin{cases}x\ge 0 \\ x-\sqrt{x^2-1}<-2\end{cases}

    La prima disequazione è a posto; la seconda è una disequazione irrazionale e, come tale, genera a sua volta i due sistemi

    \begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x+2<0 \end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}x+2\ge 0 \\ x^2-1>(x+2)^2\end{cases}

    ossia, risolvendo le singole disequazioni che formano i due sistemi

    \begin{cases}x\le -1 \vee x\ge 1 \\ x<-2 \end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}x\ge -2 \\ x<-\frac{5}{4}\end{cases}

    cioè

    x<-2 \cup -2\le x < -\frac{5}{4}

    la cui unione è x<-\frac{5}{4}

     

    Attenzione! Questa è la soluzione della disequazione irrazionale del primo sistema che dobbiamo ancora mettere a sistema con la condizione x\ge 0, cioè

    \begin{cases}x\ge 0 \\ \sqrt{x^2-1}>x+2\end{cases} \iff \ \ \ \begin{cases}x\ge 0 \\ x<-\frac{5}{4}\end{cases}

    che è un sistema impossibile.

     

    Procediamo ora con il secondo sistema.

    \begin{cases}x<0 \\ \sqrt{x^2-1}>2-x\end{cases}

    Come prima, la disequazione irrazionale genera i due sistemi

    \begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ 2-x<0 \end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}2-x\ge 0 \\ x^2-1>(2-x)^2\end{cases}

    cioè

    \begin{cases}x\le -1 \vee x\ge 1 \\ x>2 \end{cases} \bigcup \ \ \ \begin{cases}x\le 2 \\ x>\frac{5}{4}\end{cases}

    x>2 \cup \frac{5}{4}<x\le 2

    la cui unione è x>\frac{5}{4}

     

    Ancora, questa è la soluzione della seconda disequazione del secondo sistema, ossia tale soluzione va messa a sistema con x<0.

    \begin{cases}x< 0 \\ \sqrt{x^2-1}>2-x \end{cases} \iff \ \ \ \begin{cases}x< 0 \\ x>\frac{5}{4}\end{cases}

    che è, anch'esso, impossibile.

     

    Infine, unendo le soluzioni dei due sistemi abbiamo

    \emptyset \cup \emptyset = \emptyset

    vale a dire l'insieme vuoto. La disequazione di partenza è dunque impossibile.

    Per un ripasso sulle disequazioni con il valore assoluto - click!

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra