Disequazioni irrazionali con valore assoluto

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Salve come si svolge una disequazione irrazionale con un valore assoluto come ad esempio in questo caso?

 

|x|-√(x^2-1) < -2

 

Non ho idea di come fare! Grazie!

Domanda di zorro

 
Soluzioni

  • Siamo di fronte ad una disequazione irrazionale con valore assoluto:

    |x|-√(x^2-1) < -2

    La prima cosa da fare è occuparsi del valore assoluto. Per definizione di modulo la disequazione di partenza si riconduce ai due sistemi:

    x ≥ 0 ; x-√(x^2-1) < -2 U x < 0 ;-x-√(x^2-1) < -2

    ossia

    x ≥ 0 ; √(x^2-1) > x+2 U x < 0 ; √(x^2-1) > 2-x

    le cui soluzioni vanno unite; risolviamo i due sistemi di disequazioni separatamente.

     

    Primo sistema

    x ≥ 0 ; x-√(x^2-1) < -2

    La prima disequazione è a posto; la seconda è una disequazione irrazionale e, come tale, genera a sua volta i due sistemi

    x^2-1 ≥ 0 ; x+2 < 0 U x+2 ≥ 0 ; x^2-1 > (x+2)^2

    ossia, risolvendo le singole disequazioni che formano i due sistemi

    x ≤ -1 ∨ x ≥ 1 ; x < -2 U x ≥ -2 ; x < -(5)/(4)

    cioè

    x < -2 U-2 ≤ x < -(5)/(4)

    la cui unione è x < -(5)/(4)

     

    Attenzione! Questa è la soluzione della disequazione irrazionale del primo sistema che dobbiamo ancora mettere a sistema con la condizione x ≥ 0, cioè

    x ≥ 0 ; √(x^2-1) > x+2 ⇔ x ≥ 0 ; x < -(5)/(4)

    che è un sistema impossibile.

     

    Procediamo ora con il secondo sistema.

    x < 0 ; √(x^2-1) > 2-x

    Come prima, la disequazione irrazionale genera i due sistemi

    x^2-1 ≥ 0 ; 2-x < 0 U 2-x ≥ 0 ; x^2-1 > (2-x)^2

    cioè

    x ≤ -1 ∨ x ≥ 1 ; x > 2 U x ≤ 2 ; x > (5)/(4)

    x > 2 U (5)/(4) < x ≤ 2

    la cui unione è x > (5)/(4)

     

    Ancora, questa è la soluzione della seconda disequazione del secondo sistema, ossia tale soluzione va messa a sistema con x < 0.

    x < 0 ; √(x^2-1) > 2-x ⇔ x < 0 ; x > (5)/(4)

    che è, anch'esso, impossibile.

     

    Infine, unendo le soluzioni dei due sistemi abbiamo

    Ø U Ø = Ø

    vale a dire l'insieme vuoto. La disequazione di partenza è dunque impossibile.

    Per un ripasso sulle disequazioni con il valore assoluto - click!

    Risposta di Galois
 
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