Soluzioni
  • In realtà, più che il centro di massa, il problema ci chiede di calcolare il baricentro geometrico della configurazione con tre aste disposte lungo i tre lati di un quadrato. Questo perché non viene specificata alcuna massa. In caso di dubbi ti suggerisco di leggere i due link di approfondimento, partendo dal secondo.

    In questo caso abbiamo una poligonale aperta composta da tre asticelle identiche, di lunghezza l=50 \ \mbox{cm} e disposte lungo i tre lati di un quadrato di vertici A,B,C,D.

    Per raggiungere il nostro obiettivo bisogna innanzitutto fissare un opportuno sistema di riferimento: la scelta è arbitraria e non modifica la posizione assoluta del baricentro geometrico.

    Il problema ci suggerisce di centrare il sistema di riferimento nel centro del quadrato. Così facendo, indicando con 2L il lato del quadrato, possiamo ricavarne le coordinate dei vertici 

    \\ A(x_{A},y_{A})=(-L,L) \\ \\ B(x_{B},y_{B})=(-L,L) \\ \\ C(x_{C},y_{C})=(L,L) \\ \\ D(x_{D},y_{D})=(L,-L)

    Per risolvere il problema riduciamo ciascuna asta a un punto, così da poter calcolare il baricentro geometrico di un sistema di tre punti. Per simmetria il baricentro geometrico di ciascuna delle tre aste coincide con i rispettivi punti medi.

    Calcoliamo il punto medio di ciascun segmento che costituisce la poligonale:

    - il punto medio E del segmento AB è

    \\ E=\left(x_{E},y_{E}\right)=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)=\\ \\ \\ = \left(\frac{-L-L}{2},\frac{-L+L}{2}\right)=\left(-L,0\right)

    - il punto medio F del segmento BC è

    \\ F=\left(x_F,y_F\right)=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\\ \\ \\ = \left(\frac{-L+L}{2},\frac{L+L}{2}\right)=(0,L)

    - il punto medio G del segmento CD è

    \\ G=\left(x_{G},y_G\right)=\left(\frac{x_{C}+x_{D}}{2},\frac{y_{C}+y_{D}}{2}\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{L+L}{2},\frac{L-L}{2}\right)=(L,0)

    Se congiungiamo i punti E,F,G otteniamo un triangolo il cui baricentro geometrico coincide con quello della nostra configurazione.

    Ricordando che:

    - l'ascissa del baricentro geometrico di un triangolo è uguale alla media aritmetica delle ascisse dei vertici;

    - l'ordinata del baricentro geometrico di un triangolo è uguale alla media aritmetica delle ordinate;

    possiamo scrivere che l'ascissa del baricentro geometrico della configurazione è

    x_{M}=\frac{x_{E}+x_{F}+x_{G}}{3}=\frac{-L+0+L}{3}=0

    mentre l'ordinata è

    y_{M}=\frac{y_{E}+y_{F}+y_{G}}{3}=\frac{0+L+0}{3}=\frac{L}{3}

    dove L è la metà della lunghezza del lato del quadrato, che coincide con la metà della lunghezza delle aste, ossia L=25 \ \mbox{cm}.

    Concludiamo che il baricentro geometrico della poligonale è

    M(x_{M},y_{M})=\left(0,\frac{25}{3}\ \mbox{cm}\right)

    Ecco la figura della configurazione in cui è visualizzato il baricentro geometrico.

     

    Esercizio baricentro geometrico

     

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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