Soluzioni
  • Ciao genfry92 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Innanzitutti determiniamo il dominio della funzione, imponendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0

    x^3-x^2>0\iff x^2(x-1)>0

    Da cui

    x>1

    Il dominio è quindi:

    \mbox{dom}(f)=(1, +\infty)

    Tienilo a mente, se te lo dimentichi, lo studio di funzione ti viene sbagliato :)

    A questo punto andiamo alla ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza con la derivata prima.

    Calcoliamo la derivata prima:

    f(x)= \ln(x^3-x^2)\implies f'(x)= \frac{3x^2-2x}{x^3-x^2}

    Per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza studiamo il segno della derivata prima:

    f'(x)>0\iff \frac{3x^2-2x}{x^3-x^2}>0

    Il denominatore è sempre positivo nel dominio (coincide con l'argomento del logaritmo) quindi il segno dipende esclusivamente dal numeratore:

    3x^2-2x>0\iff x(3x-2)>0

    Ora osserva che per x>1 il primo fattore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal secondo fattore:

    3x-2>0\iff x>\frac{2}{3}

    Quindi vuol dire che per x>1, la derivata prima è sempre positiva e pertanto la funzione è crescente.

    Possiamo dire che l'intervallo di crescenza è:

    I_{crescenza}=(1, +\infty)

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille per la risposta, però avrei ancora un dubbio. Non ho capito questa parte:

     

    Il denominatore è sempre positivo nel dominio (coincide con l'argomento del logaritmo) quindi il segno dipende esclusivamente dal numeratore:

    3x^2-2x>0\iff x(3x-2)>0

    Ora osserva che per x>1 il primo fattore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal secondo fattore:

    3x-2>0\iff x>\frac{2}{3}

    Quindi vuol dire che per x>1, la derivata prima è sempre positiva e pertanto la funzione è crescente.

     

    Ho capito il ragionamento che riguarda il denominatore, ma non capisco da dove è uscito quel x>1.

    Risposta di genfry92
  • Ok, nessun problema :)

    In pratica noi abbiamo trovato il dominio chiedendo che

    x^3-x^2>0

    ed abbiamo ottenuto che questa disequazione è soddisfatta se e solo se:

    x>1

    Il nostro dominio è quindi 

    x>1\iff (1, +\infty)

    Tieni a mente che nel dominio considerato si ha che x^3-x^2>0, lo abbiamo fatto apposta ;)

    Adesso analizziamo la prima disequazione:

    3x^2-2x>0\iff x(3x-2)>0

    questa disequazione deve essere studiata nel dominio, cioè per x>1, altrimenti escono risultati che non corrispondono al vero. Per adesso procediamo in modo canonico per farti capire come funziona.

    x.....: - - - - - -0 + + + 2/3 + + + + + + +1 + + + + + + +

    3x-2:- - - - - - 0 - - - - -2/3 +  + + + + + +1 + + + + ++ +

    Tot..:+ + + + 0 - - - - -2/3 + + + + + + +1 + + + ++ + +

    La disequazione:

    3x^2-2x>0

    è soddisfatta se e solo se 

    x\in (-\infty, 0)\cup (2/3,+\infty)

    Tenendo in considerazione che il dominio è

    (1, +\infty)

    Dobbiamo intersecare l'insieme soluzione della disequazione con quest'ultimo:

    Soluzio:________0 ..........2/3________1___________

    Dominio:.............................................1___________

    Prendi in cosiderazione la parte in cui trovi la linea continua su entrambe le righe precedenti, otterrai come soluzione:

    (1, +\infty)

     

    Come dicevo pocanzi, il denominatore è sempre positivo perché coincide con l'argomento del logaritmo e nel dominio è sempre positivo.

     

    Se non ti è chiaro dimmelo, procedo in modo canonico :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille :) Ora ho capito, mi mancava il legame tra dominio iniziale e studio della derivata!! Molto gentile e grazie ancora, alla prossima domanda ;)

    Risposta di genfry92
 
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