Ciao genfry92 arrivo :D
Innanzitutti determiniamo il dominio della funzione, imponendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0
Da cui
Il dominio è quindi:
Tienilo a mente, se te lo dimentichi, lo studio di funzione ti viene sbagliato :)
A questo punto andiamo alla ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza con la derivata prima.
Calcoliamo la derivata prima:
Per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza studiamo il segno della derivata prima:
Il denominatore è sempre positivo nel dominio (coincide con l'argomento del logaritmo) quindi il segno dipende esclusivamente dal numeratore:
Ora osserva che per x>1 il primo fattore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal secondo fattore:
Quindi vuol dire che per x>1, la derivata prima è sempre positiva e pertanto la funzione è crescente.
Possiamo dire che l'intervallo di crescenza è:
Se hai domande sono qui :)
Grazie mille per la risposta, però avrei ancora un dubbio. Non ho capito questa parte:
Il denominatore è sempre positivo nel dominio (coincide con l'argomento del logaritmo) quindi il segno dipende esclusivamente dal numeratore:
Ora osserva che per
il primo fattore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal secondo fattore:Quindi vuol dire che per x>1, la derivata prima è sempre positiva e pertanto la funzione è crescente.
Ho capito il ragionamento che riguarda il denominatore, ma non capisco da dove è uscito quel
.Ok, nessun problema :)
In pratica noi abbiamo trovato il dominio chiedendo che
ed abbiamo ottenuto che questa disequazione è soddisfatta se e solo se:
Il nostro dominio è quindi
Tieni a mente che nel dominio considerato si ha che x^3-x^2>0, lo abbiamo fatto apposta ;)
Adesso analizziamo la prima disequazione:
questa disequazione deve essere studiata nel dominio, cioè per x>1, altrimenti escono risultati che non corrispondono al vero. Per adesso procediamo in modo canonico per farti capire come funziona.
x.....: - - - - - -0 + + + 2/3 + + + + + + +1 + + + + + + +
3x-2:- - - - - - 0 - - - - -2/3 + + + + + + +1 + + + + ++ +
Tot..:+ + + + 0 - - - - -2/3 + + + + + + +1 + + + ++ + +
La disequazione:
è soddisfatta se e solo se
Tenendo in considerazione che il dominio è
Dobbiamo intersecare l'insieme soluzione della disequazione con quest'ultimo:
Soluzio:________0 ..........2/3________1___________
Dominio:.............................................1___________
Prendi in cosiderazione la parte in cui trovi la linea continua su entrambe le righe precedenti, otterrai come soluzione:
Come dicevo pocanzi, il denominatore è sempre positivo perché coincide con l'argomento del logaritmo e nel dominio è sempre positivo.
Se non ti è chiaro dimmelo, procedo in modo canonico :D
Grazie mille :) Ora ho capito, mi mancava il legame tra dominio iniziale e studio della derivata!! Molto gentile e grazie ancora, alla prossima domanda ;)
| MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
| SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
| UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
| EXTRA | Pillole | Wiki | |||