Semplificare una frazione algebrica, esercizio

Per semplificare la frazione algebrica

bisogna seguire una strategia ben precisa che consta di 3 passaggi: è necessario scomporre i polinomi che si trovano a numeratore e a denominatore, richiedere che ciascun fattore del denominatore sia diverso da zero (rappresenta la condizione di esistenza); dividere infine numeratore e denominatore per i fattori comuni sfruttando come si devono le proprietà delle potenze se il caso lo richiede.

Consideriamo il trinomio al numeratore

I termini che lo compongono hanno in comune il fattore , per cui ci è concesso di raccoglierlo totalmente così da ottenere:

Nelle parentesi tonde compare lo sviluppo del quadrato del binomio , infatti: è il quadrato di , 1 è il quadrato di sé stesso mentre è il doppio prodotto tra

In definitiva il numeratore obbedisce all'uguaglianza:

Per poter scomporre il polinomio a denominatore, ossia

utilizziamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza nei primi due addendi

e infine mettiamo in evidenza il binomio

di conseguenza:

A questo punto sfruttiamo la scomposizione al denominatore per imporre le condizioni di esistenza: dobbiamo semplicemente richiedere che ciascun fattore della scomposizione sia diverso da zero.

vale a dire

Tenendo conto di tali vincoli, scriviamo al posto del numeratore e del denominatore le rispettive fattorizzazioni

dopodiché semplifichiamo tra loro i fattori usando a dovere la proprietà sul quoziente di due potenze: 

Ecco fatto!