Soluzioni
  • Per semplificare la frazione algebrica

    \frac{4ax^2+4ax+a}{2ax-2x+a-1}

    bisogna seguire una strategia ben precisa che consta di 3 passaggi: è necessario scomporre i polinomi che si trovano a numeratore e a denominatore, richiedere che ciascun fattore del denominatore sia diverso da zero (rappresenta la condizione di esistenza); dividere infine numeratore e denominatore per i fattori comuni sfruttando come si devono le proprietà delle potenze se il caso lo richiede.

    Consideriamo il trinomio al numeratore

    4ax^2+4ax+a=

    I termini che lo compongono hanno in comune il fattore a, per cui ci è concesso di raccoglierlo totalmente così da ottenere:

    =a(4x^2+4x+1)=

    Nelle parentesi tonde compare lo sviluppo del quadrato del binomio (2x+1), infatti: 4x^2 è il quadrato di 2x, 1 è il quadrato di sé stesso mentre 4x è il doppio prodotto tra 2x\ \mbox{e}\ 1

    =a(2x+1)^2

    In definitiva il numeratore obbedisce all'uguaglianza:

    4ax^2+4ax+a=a(2x+1)^2

    Per poter scomporre il polinomio a denominatore, ossia

    2ax-2x+a-1=

    utilizziamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza 2x nei primi due addendi

    =2x(a-1)+(a-1)=

    e infine mettiamo in evidenza il binomio (a-1)

    =(a-1)(2x+1)

    di conseguenza:

    2ax-2x+a-1=(a-1)(2x+1)

    A questo punto sfruttiamo la scomposizione al denominatore per imporre le condizioni di esistenza: dobbiamo semplicemente richiedere che ciascun fattore della scomposizione sia diverso da zero.

    C.E.: \ a-1\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ 2x+1\ne 0

    vale a dire

    C.E.: \ a\ne 1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -\frac{1}{2}

    Tenendo conto di tali vincoli, scriviamo al posto del numeratore e del denominatore le rispettive fattorizzazioni

    \frac{4ax^2+4ax+a}{2ax-2x+a-1}=\frac{a(2x+1)^2}{(a-1)(2x+1)}=

    dopodiché semplifichiamo tra loro i fattori (2x+1)^2\ \mbox{e} \ (2x+1) usando a dovere la proprietà sul quoziente di due potenze

    =\frac{a(2x+1)}{a-1}\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 1 \ \ \wedge \ \ x\ne-\frac{1}{2}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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