Integrale doppio

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Salve mi aiutate a svolgere questo integrale doppio?

 

\int_A\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy

 

A=[x^2+y^2<=4 , 0<=y<=x , 1<=x]

 

grazie!!!

 

il dominio penso che sia solo nel primo quadrante dopo X=1.

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • La prima cosa da fare consiste nel disegnare il dominio di integrazione: disegna la circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, poi la retta x=1 ed infine la bisettrice del primo-terzo quadrante y=x.

    Il dominio di integrazione è la regione di piano interna alla circonferenza, che si trova al di sotto della bisettrice e a destra della retta x=1.

    Per individuarla con disequazioni libere su una variabile e vincolate sulla seconda, possiamo agevolmente scrivere

    1\leq x\leq \sqrt{2}\wedge 0\leq y\leq x

    (nota infatti che bisettrice e circonferenza si incontrano nel punto (\sqrt{2},\sqrt{2}))

    e poi

    \sqrt{2}\leq x\leq 2\wedge 0\leq y\leq \sqrt{4-x^2}

    Puoi dunque calcolare l'integrale nella forma

    \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{x}{f(x,y)dydx}+\int_{\sqrt{2}}^{2}\int_{0}^{+\sqrt{4-x^2}}{f(x,y)dydx}

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • grazie della risposta...

    potresti confermarmi se anche quest'altra riduzione è corretta??

     

    \int_{0}^{1}\int_{1}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dxdy+\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{y}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dxdy

     

    ma per calcolarla devo ricondurmi alle coordinate polari??

    Risposta di Volpi

  • La riduzione va benone Wink

    Qui non serve passare ad un riferimento di coordinate polari, perché è vero che semplificherebbe il radicale, ma complicherebbe inutilmente i tratti lineari della frontiera.

    Dopo la riduzione, invece, puoi procedere con il calcolo standard degli integrali definiti in una variabile senza particolari complicazioni :)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • adesso ho problema ad integrare quella funzione...

     

    mi illumini?? Laughing

    Risposta di Volpi

  • anzi ho risolto grazie.

    Risposta di Volpi

  • Certamente! :)

    \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=y(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left[(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}2y\right]

    Hai una potenza e la derivata della base Wink E stai integrando rispetto a y (se procedi come ti ho suggerito)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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