Integrale doppio

Salve mi aiutate a svolgere questo integrale doppio?

∫_A(y)/(√(x^2+y^2))dxdy

A = [x^2+y^2 < = 4 , 0 < = y < = x , 1 < = x]

grazie!!!

il dominio penso che sia solo nel primo quadrante dopo X=1.

Domanda di Volpi
Soluzioni

Ciao Volpi, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

La prima cosa da fare consiste nel disegnare il dominio di integrazione: disegna la circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, poi la retta x = 1 ed infine la bisettrice del primo-terzo quadrante y = x.

Il dominio di integrazione è la regione di piano interna alla circonferenza, che si trova al di sotto della bisettrice e a destra della retta x = 1.

Per individuarla con disequazioni libere su una variabile e vincolate sulla seconda, possiamo agevolmente scrivere

1 ≤ x ≤ √(2) ∧ 0 ≤ y ≤ x

(nota infatti che bisettrice e circonferenza si incontrano nel punto (√(2),√(2)))

e poi

√(2) ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ √(4-x^2)

Puoi dunque calcolare l'integrale nella forma

∫_(1)^(√(2))∫_(0)^(x)f(x,y)dydx+∫_(√(2))^(2)∫_(0)^(+√(4-x^2))f(x,y)dydx

Namasté!

Risposta di Omega

grazie della risposta...

potresti confermarmi se anche quest'altra riduzione è corretta??

∫_(0)^(1)∫_(1)^(√(4-y^2))f(x,y)dxdy+∫_(1)^(√(2))∫_(y)^(√(4-y^2))f(x,y)dxdy

ma per calcolarla devo ricondurmi alle coordinate polari??

Risposta di Volpi

La riduzione va benone Wink

Qui non serve passare ad un riferimento di coordinate polari, perché è vero che semplificherebbe il radicale, ma complicherebbe inutilmente i tratti lineari della frontiera.

Dopo la riduzione, invece, puoi procedere con il calcolo standard degli integrali definiti in una variabile senza particolari complicazioni :)

Namasté!

Risposta di Omega

adesso ho problema ad integrare quella funzione...

mi illumini?? Laughing

Risposta di Volpi

anzi ho risolto grazie.

Risposta di Volpi

Certamente! :)

(y)/(√(x^2+y^2)) = y(x^2+y^2)^(-(1)/(2)) = (1)/(2)[(x^2+y^2)^(-(1)/(2))2y]

Hai una potenza e la derivata della base Wink E stai integrando rispetto a y (se procedi come ti ho suggerito)

Namasté!

Risposta di Omega

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