Soluzioni
  • Per determinare l'insieme soluzione dell'equazione fratta di secondo grado

    \frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{x^2-3}-\frac{3(1+\sqrt{3})}{x^2+3+2\sqrt{3}x}=0

    bisogna per prima cosa imporre le opportune condizioni di esistenza, dopodiché eseguiremo tutti i passaggi algebrici che permettono di ricondurci alla forma normale dell'equazione.

    Per facilitare lo svolgimento, è utile scomporre i polinomi che formano i vari denominatori:

    \bullet \ \ \ x+\sqrt{3} ha grado uno ed è pertanto irriducibile;

    \bullet \ \ \ x^2-3 è una differenza di quadrati che diventa

    x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

    \bullet \ \ \ x^2+3+2\sqrt{3}x è in buona sostanza un quadrato di binomio:

    x^2+3+2\sqrt{3}x=(x+\sqrt{3})^2

    Riscriviamo l'equazione sostituendo i denominatori con le loro scomposizioni

    \frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}-\frac{3(1+\sqrt{3})}{(x+\sqrt{3})^2}=0

    e imponiamo le condizioni affinché essa abbia senso: richiederemo che ogni denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero.

    La non nullità del primo denominatore conduce alla disuguaglianza

    x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{3}

    Per quanto concerne la non nullità del secondo denominatore, dobbiamo analizzare la relazione

    (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\ne 0

    In questo caso interviene la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le due disequazioni:

    \\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\sqrt{3} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{3}

    Consideriamo, infine, il terzo denominatore e imponiamo che non sia nullo

    (x+\sqrt{3})^2\ne 0

    Ricordando che un quadrato è diverso da zero se e solo se la sua base è non nulla, otteniamo

    x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{2}

    In definitiva, l'insieme di definizione dell'equazione è

    C.E.: \ x\ne -\sqrt{3}\ \wedge \ x\ne \sqrt{3}

    dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

    Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: sommiamo le frazioni algebriche dopo aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+x+\sqrt{3}-(3+3\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2}=0

    Cancelliamo il denominatore comune

    (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+x+\sqrt{3}-(3+3\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0

    eseguiamo i vari prodotti

    x^2-3+x+\sqrt{3}-(3x-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}x-9)=0

    e sfruttiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi tonde

    x^2-3+x+\sqrt{3}-3x+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}x+9=0

    Non ci resta che sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    x^2+(-2-3\sqrt{3})x+6+4\sqrt{3}=0

    Siamo riusciti a ricondurci a un'equazione di secondo grado avente per coefficienti

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=(-2-3\sqrt{3}) \ \ \ ; \ \ \ c=6+4\sqrt{3}

    Risolviamola usando la formula del discriminante:

    \\ \Delta=b^2-4ac=(-2-3\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot (6+4\sqrt{3})= \\ \\ =31+12\sqrt{3}-24-16\sqrt{3}=7-4\sqrt{3}= \\ \\ =7-\sqrt{16\cdot 3}=7-\sqrt{48}

    Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo portato all'interno della radice il fattore 4: questo ci permette di semplificare la radice quadrata del discriminate mediante la regola sui radicali doppi.

    \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{7+1}{2}}-\sqrt{\frac{7-1}{2}}= \\ \\  =\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}

    Poiché il discriminante è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti che si ricavano mediante la relazione

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2-3\sqrt{3})\pm (2-\sqrt{3})}{2}= \\ \\ \\ =\frac{2+3\sqrt{3}\pm (2-\sqrt{3})}{2}=\begin{cases}\frac{2+3\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=x_1 \\ \\ \frac{2+3\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}=x_2\end{cases}

    I valori ottenuti soddisfano le condizioni di esistenza pertanto sono soluzioni accettabili anche per l'equazione fratta. Possiamo concludere, pertanto, che l'equazione data è determinata e il suo insieme soluzione è

    S=\left\{2\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}\right\}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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