Un'equazione di secondo grado fratta con i radicali

Mi servirebbe una mano per risolvere un'equazione fratta di secondo grado in cui compaiono radicali. Non avendo molta dimestichezza con le radici, non riesco a svolgere correttamente i calcoli.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali

$\frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{x^2-3}-\frac{3(1+\sqrt{3})}{x^2+3+2\sqrt{3}x}=0$

Grazie.

Domanda di marklycons

Soluzioni

Per determinare l'insieme soluzione dell'equazione fratta di secondo grado
$\frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{x^2-3}-\frac{3(1+\sqrt{3})}{x^2+3+2\sqrt{3}x}=0$
bisogna per prima cosa imporre le opportune condizioni di esistenza, dopodiché eseguiremo tutti i passaggi algebrici che permettono di ricondurci alla forma normale dell'equazione.
Per facilitare lo svolgimento, è utile scomporre i polinomi che formano i vari denominatori:
$\bullet \ \ \ x+\sqrt{3}$ ha grado uno ed è pertanto irriducibile;
$\bullet \ \ \ x^2-3$ è una differenza di quadrati che diventa
$x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$
$\bullet \ \ \ x^2+3+2\sqrt{3}x$ è in buona sostanza un quadrato di binomio:
$x^2+3+2\sqrt{3}x=(x+\sqrt{3})^2$
Riscriviamo l'equazione sostituendo i denominatori con le loro scomposizioni
$\frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}-\frac{3(1+\sqrt{3})}{(x+\sqrt{3})^2}=0$
e imponiamo le condizioni affinché essa abbia senso: richiederemo che ogni denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero.
La non nullità del primo denominatore conduce alla disuguaglianza
$x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{3}$
Per quanto concerne la non nullità del secondo denominatore, dobbiamo analizzare la relazione
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\ne 0$
In questo caso interviene la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le due disequazioni:
$\\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\sqrt{3} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{3}$
Consideriamo, infine, il terzo denominatore e imponiamo che non sia nullo
$(x+\sqrt{3})^2\ne 0$
Ricordando che un quadrato è diverso da zero se e solo se la sua base è non nulla, otteniamo
$x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{2}$
In definitiva, l'insieme di definizione dell'equazione è
$C.E.: \ x\ne -\sqrt{3}\ \wedge \ x\ne \sqrt{3}$
dove $\wedge$ è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".
Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: sommiamo le frazioni algebriche dopo aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore
$\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+x+\sqrt{3}-(3+3\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2}=0$
Cancelliamo il denominatore comune
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+x+\sqrt{3}-(3+3\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0$
eseguiamo i vari prodotti
$x^2-3+x+\sqrt{3}-(3x-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}x-9)=0$
e sfruttiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi tonde
$x^2-3+x+\sqrt{3}-3x+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}x+9=0$
Non ci resta che sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita
$x^2+(-2-3\sqrt{3})x+6+4\sqrt{3}=0$
Siamo riusciti a ricondurci a un'equazione di secondo grado avente per coefficienti
$a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=(-2-3\sqrt{3}) \ \ \ ; \ \ \ c=6+4\sqrt{3}$
Risolviamola usando la formula del discriminante:
$\\ \Delta=b^2-4ac=(-2-3\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot (6+4\sqrt{3})= \\ \\ =31+12\sqrt{3}-24-16\sqrt{3}=7-4\sqrt{3}= \\ \\ =7-\sqrt{16\cdot 3}=7-\sqrt{48}$
Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo portato all'interno della radice il fattore 4: questo ci permette di semplificare la radice quadrata del discriminate mediante la regola sui radicali doppi.
$\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{7+1}{2}}-\sqrt{\frac{7-1}{2}}= \\ \\ =\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$
Poiché il discriminante è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti che si ricavano mediante la relazione
$\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2-3\sqrt{3})\pm (2-\sqrt{3})}{2}= \\ \\ \\ =\frac{2+3\sqrt{3}\pm (2-\sqrt{3})}{2}=\begin{cases}\frac{2+3\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=x_1 \\ \\ \frac{2+3\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}=x_2\end{cases}$
I valori ottenuti soddisfano le condizioni di esistenza pertanto sono soluzioni accettabili anche per l'equazione fratta. Possiamo concludere, pertanto, che l'equazione data è determinata e il suo insieme soluzione è
$S=\left\{2\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}\right\}$
Abbiamo finito.
Risposta di Ifrit