Esercizio su circonferenza e rette tangenti

Ok ragazzi, vi annoio con un esercizio sulle circonferenze e sulle rette tangenti alla circonferenza! Questo l'ho già iniziato però mi è venuto un dubbio sul sistema a 3 incognite!

Determina l'equazione della retta passante per i punti e avente centro sulla retta .

Trova poi l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela ad AB dopo aver verificato che A,B sono estremi di un diametro.

Risultati: ${x^{2}} +{y^{2}}-2x+y-10=0$ e $y=-\frac{1}{2} \pm \frac{15}{4}$ .

Grazie in anticipo! :)

Domanda di Bustedd

Soluzioni

Consideriamo l'equazione della circonferenza (click qui per tutte le formule sulla circonferenza) nella forma
e imponiamo il passaggio per i punti e . Otteniamo così due equazioni
Abbiamo due equazioni, ce ne manca una (tre equazioni, tre incognite ). Osservando che il centro della circonferenza
$\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$
deve trovarsi sulla retta
le sue coordinate devono verificarne l'equazione!
$6\left(-\frac{a}{2}\right)-2\left(-\frac{b}{2}\right)-7=0$
vale a dire
Il sistema da risolvere è dunque
$\left\{\begin{matrix}16+4+4a-2b+c=0 \\ 4+1-2a+b+c=0\\ -3a+b-7=0\end{matrix}$
Ti torna?
Namasté!
Risposta di Omega
Sisi io sto a quel punto. . . sono andato avanti, ma non mi viene!
Ora ricontrollo di nuovo
Risposta di Bustedd
Fai così: dalla terza equazione ricavi e lo sostituisci nelle prime due
trovando
cioè rispettivamente
da quest'ultima ricavi
e lo sostituisci nell'altra
da cui
e quindi e .
La circonferenza ha equazione
Tutto ok?
Namasté!
Risposta di Omega
Si tutto chiaro...
Risposta di Bustedd
Yaya, that's right! :)
Quindi
Il centro di tale circonferenza è
$C=\left(1,-\frac{1}{2}\right)$
il raggio lo si calcola come
$r=\sqrt{x_C^2+y_C^2-c}=\sqrt{1+\frac{1}{4}+10}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
e il diametro misura
$d=2r=3\sqrt{5}$
Se calcoli la distanza tra i due punti ottieni proprio
$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=d$
quindi è un diametro della circonferenza.
La retta passante per i due punti la determini con la formula
$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$
ed esprimendo l'equazione della retta in forma esplicita
puoi determinare il coefficiente angolare .
A questo punto considera le rette del fascio improprio parallele a tale diametro, dunque della forma
con precedentemente determinato.
Metti a sistema l'equazione della generica retta del fascio con l'equazione della circonferenza
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x+y-10=0\\ y=m'x+q\end{matrix}$
e ottieni un'equazione di secondo grado in dipendente dal parametro . Richiedendo l'annullamento del discriminante (delta) di tale equazione di secondo grado (CONDIZIONE DI TANGENZA RETTA-CIRCONFERENZA) ottieni un'equazione in che, risolta, ti permette di determinare i valori di che individuano le tangenti richieste.
Namasté!
Risposta di Omega
Grazie mille ancora Omega, e scusami se non sono stato molto presente! :(

Mi dispiace di averti chiesto tutto!
Risposta di Bustedd
Ma siamo qui apposta! :) Non devi scusarti
Namasté!
Risposta di Omega