Esercizio su circonferenza e rette tangenti

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Ok ragazzi, vi annoio con un esercizio sulle circonferenze e sulle rette tangenti alla circonferenza! Questo l'ho già iniziato però mi è venuto un dubbio sul sistema a 3 incognite!

 

Determina l'equazione della retta passante per i punti A(4;-2) e B(-2;1) avente centro sulla retta 6x-2y-7 = 0.

 

Trova poi l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela ad AB dopo aver verificato che A,B sono estremi di un diametro.

 

Risultati: x^(2)+y^(2)-2x+y-10 = 0 e y = -(1)/(2)±(15)/(4).

 

Grazie in anticipo! :)

Domanda di Bustedd

 
Soluzioni

  • Consideriamo l'equazione della circonferenza (click qui per tutte le formule sulla circonferenza) nella forma

    x^2+y^2+ax+by+c = 0

    e imponiamo il passaggio per i punti (4,-2) e (-2,1). Otteniamo così due equazioni

    16+4+4a-2b+c = 0

    4+1-2a+b+c = 0

    Abbiamo due equazioni, ce ne manca una (tre equazioni, tre incognite a,b,c). Osservando che il centro della circonferenza

    (-(a)/(2),-(b)/(2))

    deve trovarsi sulla retta

    6x-2y-7 = 0

    le sue coordinate devono verificarne l'equazione!

    6(-(a)/(2))-2(-(b)/(2))-7 = 0

    vale a dire

    -3a+b-7 = 0

    Il sistema da risolvere è dunque

    16+4+4a-2b+c = 0 ; 4+1-2a+b+c = 0 ;-3a+b-7 = 0

    Ti torna?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Sisi io sto a quel punto. . . sono andato avanti, ma non mi viene!
    Ora ricontrollo di nuovo 

    Risposta di Bustedd

  • Fai così: Wink dalla terza equazione ricavi b e lo sostituisci nelle prime due

    b = 3a+7

    trovando

    20+4a-6a-14+c = 0

    5-2a+3a+7+c = 0

    cioè rispettivamente

    6-2a+c = 0

    12+a+c = 0

    da quest'ultima ricavi

    c = -a-12

    e lo sostituisci nell'altra

    6-2a-a-12 = 0

    da cui

    a = -2

    e quindi c = -10 e b = 1.

    La circonferenza ha equazione

    x^2+y^2-2x+y-10 = 0

    Tutto ok?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Si tutto chiaro...

    Risposta di Bustedd

  • Yaya, that's right! :)

    Quindi

    x^2+y^2-2x+y-10 = 0

    Il centro di tale circonferenza è

    C = (1,-(1)/(2))

    il raggio lo si calcola come

    r = √(x_C^2+y_C^2-c) = √(1+(1)/(4)+10) = √((45)/(4)) = (3√(5))/(2)

    e il diametro misura

    d = 2r = 3√(5)

    Se calcoli la distanza tra i due punti AB ottieni proprio d

    AB = √((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2) = d

    quindi AB è un diametro della circonferenza.

    La retta passante per i due punti A,B la determini con la formula

    (y-y_A)/(y_B-y_A) = (x-x_A)/(x_B-x_A)

    ed esprimendo l'equazione della retta in forma esplicita

    y = m'x+q'

    puoi determinare il coefficiente angolare m'.

    A questo punto considera le rette del fascio improprio parallele a tale diametro, dunque della forma

    y = mx+q

    con m = m' precedentemente determinato.

    Metti a sistema l'equazione della generica retta del fascio con l'equazione della circonferenza

    x^2+y^2-2x+y-10 = 0 ; y = m'x+q

    e ottieni un'equazione di secondo grado in x dipendente dal parametro q. Richiedendo l'annullamento del discriminante (delta) di tale equazione di secondo grado (CONDIZIONE DI TANGENZA RETTA-CIRCONFERENZA) ottieni un'equazione in q che, risolta, ti permette di determinare i valori di q che individuano le tangenti richieste.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie mille ancora Omega, e scusami se non sono stato molto presente! :(

    Mi dispiace di averti chiesto tutto! 

    Risposta di Bustedd

  • Ma siamo qui apposta! :) Non devi scusarti Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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