Retta tangente a una parabola in un punto

Ho due esercizi in cui devo trovare la retta tangente ad una parabola in un punto assegnato, ma un po' per le formule un po' per il procedimento non riesco a portarli a termine, per questo confido nel vostro aiuto...

Data la parabola di equazione y = x^2−5x+4, determina l'equazione della retta tangente nel suo punto di ascissa 5.

Data la parabola di equazione y = (3)/(2) x^2−x+5, determina l'equazione della retta tangente nel punto P(2;9).

Domanda di abcde1326
Soluzioni

Premetto che qui - parabola - trovi tutte le formule da sapere. ;)

Cominciamo con il primo esercizio, abbiamo l'equazione di una parabola:

 Π: y = x^2−5x+4

dobbiamo determinare la retta tangente nel punto di ascissa x = 5.

La prima cosa da fare in questo caso è determinare l'ordinata del punto di tangenza:

y = 5^2−5·5+4 = 25−25+4 = 4

quindi il punto di contatto è:

P(5, 4)

a questo punto costruiamo il fascio di rette passanti per P:

y−4 = m(x−5) ⇒ y = mx−5m+4

Impostiamo il sistema:

y = x^2−5x+4 ; y = mx−5m+4

Procedendo per sostituzione otterremo l'equazione:

x^2−5x+4 = mx−5m+4

portiamo tutto al primo membro:

x^2−5x−mx+4−4+5m = 0

x^2+(−5−m)x+5m = 0

Ci troviamo di fronte ad un'equazione di secondo grado. Determiniamo il discriminante associato:

Δ = (−5−m)^2−4·5m =

= m^2+10m+25−20m = m^2−10m+25

Imponiamo la condizione di tangenza: il discriminante deve essere nullo!

Δ = 0 ⇔ m^2−10m+25 = 0 ⇔ (m−5)^2 = 0 ⇔ m = 5

Dunque la retta tangente è:

y = 5x−25+4 ⇔ y = 5x−21 

e il primo è andato! ;)

Risposta di Ifrit

Abbiamo la parabola di equazione:

Π: y = (3)/(2)x^2−x+5

dobbiamo determinare l'equazione della retta tangente alla parabola, passante per il punto P(2,9). 

Come prima costruiamo il fascio di rette:

y−9 = m(x−2) ⇒ y = mx−2m+9

Impostiamo il sistema:

y = (3)/(2)x^2−x+5 ; y = mx−2m+9

Procediamo per sostituzione:

(3)/(2)x^2−x+5 = mx−2m+9

Moltiplichiamo membro a membro per 2:

3x^2−2x+10 = 2mx−4m+18

portiamo tutto al primo membro:

3x^2+(−2m−2)x+10−18+4m = 0

da cui

3x^2+(−2m−2)x−8+4m = 0

Calcoliamo il discriminate associato:

Δ = (−2m−2)^2−4·3(−8+4m) = 4(m^2−10m+25) = 4(m−5)^2

Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ = 0 ⇔ 4(m−5)^2 = 0 ⇔ m−5 = 0 ⇔ m = 5

Abbiamo determinato il coefficiente della retta:

y = 5x−10+9 ⇔ y = 5x−1

Finito :)

La prossima volta una esercizio per domanda, mi raccomando! :)

Risposta di Ifrit

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