Soluzioni
  • Premetto che qui - parabola - trovi tutte le formule da sapere. ;)

     

    Cominciamo con il primo esercizio, abbiamo l'equazione di una parabola:

     \Pi: y= x^2-5x+4

    dobbiamo determinare la retta tangente nel punto di ascissa x=5.

    La prima cosa da fare in questo caso è determinare l'ordinata del punto di tangenza:

    y= 5^2-5\cdot5+4= 25-25+4=4

    quindi il punto di contatto è:

    P(5, 4)

    a questo punto costruiamo il fascio di rette passanti per P:

    y-4= m(x-5)\implies y= mx-5m+4

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y=x^2-5x+4\\ y= mx-5m+4\end{cases}

    Procedendo per sostituzione otterremo l'equazione:

    x^2-5x+4= mx-5m+4

    portiamo tutto al primo membro:

    x^2-5x-mx+4-4+5m=0

    x^2+(-5-m)x+5m=0

    Ci troviamo di fronte ad un'equazione di secondo grado. Determiniamo il discriminante associato:

    \Delta= (-5-m)^2-4\cdot 5m=

    = m^2+10m+25-20m=m^2-10m+25

    Imponiamo la condizione di tangenza: il discriminante deve essere nullo!

    \Delta=0\iff m^2-10m +25=0\iff (m-5)^2=0\iff m=5

    Dunque la retta tangente è:

    y= 5x-25+4\iff y= 5x-21 

    e il primo è andato! ;)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la parabola di equazione:

    \Pi: y= \frac{3}{2}x^2-x+5

    dobbiamo determinare l'equazione della retta tangente alla parabola, passante per il punto P\left(2,9\right)

    Come prima costruiamo il fascio di rette:

    y-9= m(x-2)\implies y= mx-2m+9

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y= \frac{3}{2}x^2-x+5\\ y= mx-2m+9\end{cases}

    Procediamo per sostituzione:

    \frac{3}{2}x^2-x+5= mx-2m+9

    Moltiplichiamo membro a membro per 2:

    3x^2-2x+10=2mx-4m+18

    portiamo tutto al primo membro:

    3x^2+(-2m-2)x+10-18+4m=0

    da cui

    3x^2+(-2m-2)x-8+4m=0

    Calcoliamo il discriminate associato:

    \Delta= (-2m-2)^2-4\cdot 3(-8+4m)= 4(m^2-10m+25)= 4(m-5)^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff 4(m-5)^2=0\iff m-5=0\iff m=5

    Abbiamo determinato il coefficiente della retta:

    y= 5x-10+9\iff y= 5x-1

    Finito :)

    La prossima volta una esercizio per domanda, mi raccomando! :)

    Risposta di Ifrit
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