Soluzioni
  • Consideriamo l'equazione fratta di secondo grado

    \frac{1}{x-\sqrt{2}}+\frac{2x}{x+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{x^2-2}

    Per calcolarne le soluzioni, dobbiamo innanzitutto scomporre il denominatore x^2-2 considerandolo come la differenza dei quadrati di x\ \mbox{e} \ \sqrt{2}

    \frac{1}{x-\sqrt{2}}+\frac{2x}{x+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}

    e imporre le dovute condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli.

    Imponiamo e risolviamo le seguenti disuguaglianze:

    \\ x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\sqrt{2} \\ \\ x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\sqrt{2}

    La condizione

    (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\ne 0

    richiede una discussione particolareggiata perché interviene la legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono

    x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ ;  \ \ \ x+\sqrt{2}\ne 0

    da cui

    x\ne\sqrt{2}\ \ \ ; \ \ \ x\ne -\sqrt{2}

    Nota: le due condizioni sono ridondanti giacché le avevamo ottenute già in precedenza.

    In definitiva, l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito dalle seguenti condizioni:

    C.E.: \ x\ne -\sqrt{2} \ \wedge \ x\ne \sqrt{2}

    dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

    Ora, e solo ora, possiamo scrivere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione nella sua forma normale. Tanto per cominciare, trasportiamo tutti i termini al membro di sinistra

    \frac{1}{x-\sqrt{2}}+\frac{2x}{x+\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}=0

    dopodiché sommiamo le frazioni algebriche, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{x+\sqrt{2}+2x(x-\sqrt{2})-2\sqrt{2}}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}=0

    Cancelliamo il denominatore comune e scriviamo l'equazione equivalente sotto i vincoli dell'insieme di esistenza

    x+\sqrt{2}+2x^2-2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}=0

    A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    2x^2+(1-2\sqrt{2})x-\sqrt{2}=0

    I passaggi algebrici hanno ridotto l'equazione fratta a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti sono

    a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=1-2\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ c=-\sqrt{2}

    Grazie a essi, siamo in grado di usare la formula del delta e di calcolare il discriminante associato:

    \Delta=b^2-4ac=(1-2\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot (-\sqrt{2})=

    Sfruttiamo la regola del quadrato di binomio e le opportune proprietà dei radicali per calcolare (1-2\sqrt{2})

    =1+(2\sqrt{2})^2-2\cdot 2\sqrt{2}+8\sqrt{2}=1+4\cdot 2 -4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=

    Sommiamo i radicali simili

    =9+4\sqrt{2}

    In definitiva, il discriminante associato all'equazione di secondo grado è

    \Delta=9+4\sqrt{2}

    Proprio per via della sua strana espressione, conviene calcolare la radice quadrata del delta a parte

    \sqrt{\Delta}=\sqrt{9+4\sqrt{2}}=

    portiamo dentro la radice il 4

    =\sqrt{9+\sqrt{16\cdot 2}}=\sqrt{9+\sqrt{32}}

    A conti fatti, quello che abbiamo ottenuto è un radicale doppio che può essere espresso in forma equivalente come

    \\ =\sqrt{\frac{9+\sqrt{9^2-32}}{2}}+\sqrt{\frac{9-\sqrt{9^2-32}}{2}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{49}}{2}}+\sqrt{\frac{9-\sqrt{49}}{2}}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{9+7}{2}}+\sqrt{\frac{9-7}{2}}=\sqrt{\frac{16}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}= \\ \\ \\ =\sqrt{8}+1=2\sqrt{2}+1

    dove nell'ultimissimo passaggio abbiamo effettuato la semplificazione del radicale \sqrt{8}.

    Poiché il discriminante è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano mediante la formula

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(1-2\sqrt{2})\pm(2\sqrt{2}+1)}{2\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{-1+2\sqrt{2}\pm(2\sqrt{2}+1)}{4}=\begin{cases}\frac{-1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-1}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}=x_1\\ \\ \frac{-1+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+1}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}=x_2\end{cases}

    Non abbiamo ancora finito: dobbiamo controllare i valori ottenuti e considerare esclusivamente quelli che soddisfano le condizioni di esistenza:

    x_1=-\frac{1}{2} è soluzione dell'equazione fratta perché rispetta i vincoli del C.E., mentre x_2=\sqrt{2} è un falso positivo in quanto viola la condizione x\ne\sqrt{2}.

    In conclusione, l'equazione fratta è determinata e ammette come unica soluzione x_1=-\frac{1}{2}, di conseguenza il suo insieme soluzione è:

    S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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