Esercizio con equazione di secondo grado fratta

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Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali, soprattutto per quanto riguarda i passaggi algebrici.

 

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali

 

(1)/(x-√(2))+(2x)/(x+√(2)) = (2√(2))/(x^2-2)

 

Grazie.

Domanda di marklycons

 
Soluzione

  • Consideriamo l'equazione fratta di secondo grado

    (1)/(x-√(2))+(2x)/(x+√(2)) = (2√(2))/(x^2-2)

    Per calcolarne le soluzioni, dobbiamo innanzitutto scomporre il denominatore x^2-2 considerandolo come la differenza dei quadrati di x e √(2)

    (1)/(x-√(2))+(2x)/(x+√(2)) = (2√(2))/((x-√(2))(x+√(2)))

    e imporre le dovute condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli.

    Imponiamo e risolviamo le seguenti disuguaglianze:

    x-√(2) ne 0 → x ne√(2) ; x+√(2) ne 0 → x ne-√(2)

    La condizione

    (x-√(2))(x+√(2)) ne 0

    richiede una discussione particolareggiata perché interviene la legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono

    x-√(2) ne 0 ; x+√(2) ne 0

    da cui

    x ne√(2) ; x ne-√(2)

    Nota: le due condizioni sono ridondanti giacché le avevamo ottenute già in precedenza.

    In definitiva, l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito dalle seguenti condizioni:

    C.E.: x ne-√(2) ∧ x ne √(2)

    dove ∧ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

    Ora, e solo ora, possiamo scrivere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione nella sua forma normale. Tanto per cominciare, trasportiamo tutti i termini al membro di sinistra

    (1)/(x-√(2))+(2x)/(x+√(2))-(2√(2))/((x-√(2))(x+√(2))) = 0

    dopodiché sommiamo le frazioni algebriche, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    (x+√(2)+2x(x-√(2))-2√(2))/((x-√(2))(x+√(2))) = 0

    Cancelliamo il denominatore comune e scriviamo l'equazione equivalente sotto i vincoli dell'insieme di esistenza

    x+√(2)+2x^2-2√(2)x-2√(2) = 0

    A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    2x^2+(1-2√(2))x-√(2) = 0

    I passaggi algebrici hanno ridotto l'equazione fratta a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti sono

    a = 2 ; b = 1-2√(2) ; c = -√(2)

    Grazie a essi, siamo in grado di usare la formula del delta e di calcolare il discriminante associato:

    Δ = b^2-4ac = (1-2√(2))^2-4·2·(-√(2)) =

    Sfruttiamo la regola del quadrato di binomio e le opportune proprietà dei radicali per calcolare (1-2√(2))

    = 1+(2√(2))^2-2·2√(2)+8√(2) = 1+4·2-4√(2)+8√(2) =

    Sommiamo i radicali simili

    = 9+4√(2)

    In definitiva, il discriminante associato all'equazione di secondo grado è

    Δ = 9+4√(2)

    Proprio per via della sua strana espressione, conviene calcolare la radice quadrata del delta a parte

    √(Δ) = √(9+4√(2)) =

    e portiamo dentro la radice il 4

    = √(9+√(16·2)) = √(9+√(32))

    A conti fatti, quello che abbiamo ottenuto è un radicale doppio che può essere espresso in forma equivalente come

    = √((9+√(9^2-32))/(2))+√((9-√(9^2-32))/(2)) = √((9+√(49))/(2))+√((9-√(49))/(2)) = √((9+7)/(2))+√((9-7)/(2)) = √((16)/(2))+√((2)/(2)) = √(8)+1 = 2√(2)+1

    dove nell'ultimissimo passaggio abbiamo effettuato la semplificazione del radicale √(8).

    Poiché il discriminante è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano mediante la formula

    x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(1-2√(2))±(2√(2)+1))/(2·2) = (-1+2√(2)±(2√(2)+1))/(4) = (-1+2√(2)-2√(2)-1)/(4) = -(2)/(4) = -(1)/(2) = x_1 ; (-1+2√(2)+2√(2)+1)/(4) = (4√(2))/(4) = √(2) = x_2

    Non abbiamo ancora finito: dobbiamo controllare i valori ottenuti e considerare esclusivamente quelli che soddisfano le condizioni di esistenza:

    x_1 = -(1)/(2) è soluzione dell'equazione fratta perché rispetta i vincoli del C.E., mentre x_2 = √(2) è un falso positivo in quanto viola la condizione x ne√(2).

    In conclusione, l'equazione fratta è determinata e ammette come unica soluzione x_1 = -(1)/(2), di conseguenza il suo insieme soluzione è:

    S = -(1)/(2)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
    Ultima modifica:

 
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