Soluzioni
  • Ciao Marklycons, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il trucco per risolvere l'equazione

    \frac{1}{x-\sqrt{2}}+\frac{2x}{x+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{x^2-2}

    consiste nell'osservare che, in accordo con la regola del falso quadrato

    x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})

    per cui se moltiplichiamo entrambi i membri per x^2-2 e nel frattempo imponiamo le condizioni di esistenza

    x^2-2\neq 0\to x\neq \pm \sqrt{2}

    otteniamo

    \frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}+\frac{2x(x^2-2)}{x+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}(x^2-2)}{x^2-2}

    alla luce della scomposizione precedente possiamo semplificare

    x+\sqrt{2}+2x(x-\sqrt{2})=2\sqrt{2}

    da cui ricaviamo

    x+\sqrt{2}+2x^2-2\sqrt{2}x=2\sqrt{2}

    che riscriviamo come

    2x^2 +(1-2\sqrt{2})x-\sqrt{2}=0

    Ora è sufficiente applicare la formula per le soluzioni delle equazioni di secondo grado

    x_{1,2}=\frac{-(1-2\sqrt{2})\pm\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2-4(2)(-\sqrt{2})}}{4}

    cioè

    x_{1,2}=\frac{-(1-2\sqrt{2})\pm\sqrt{1+4\sqrt{2}+8}}{4}

    x_{1,2}=\frac{-(1-2\sqrt{2})\pm\sqrt{(1+2\sqrt{2})^2}}{4}

    x_{1,2}=\frac{-(1-2\sqrt{2})\pm (1+2\sqrt{2})}{4}

    Troviamo come soluzioni:

    x=\sqrt{2} (N.A.)

    x=-\frac{1}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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