Soluzioni
  • Ci viene chiesto di trovare l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse x e di cui è nota la misura di un semiasse

    b=2

    e l'eccentricità

    e=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Un'ellisse con i fuochi sull'asse delle ascisse ha un'equazione del tipo

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \mbox{ con } a\neq 0, \ b \neq 0 \mbox{ e } a^2 > b^2

    Inoltre i fuochi dell'ellisse sono

    F_1(-c,0) \ \ ; \ \ F_2(c,0)

    dove c indica la semidistanza focale ed è legata ai coefficienti a, b dalla formula

    c^2=a^2-b^2 \ \ (\bullet)

    Infine, l'eccentricità di un'ellisse con i fuochi sull'asse x è data da

    e = \frac{c}{a} \ \ (\bullet \bullet)

    Alla luce di queste premesse, torniamo al problema. La traccia fornisce la lunghezza del semiasse b

    b=2

    dunque ci basta trovare la lunghezza di a.

    Sappiamo anche che e=\frac{\sqrt{3}}{2}, dunque sostituiamo nella formula (\bullet \bullet) e ricaviamo a in funzione di c

    e = \frac{c}{a} \ \ \to \ \ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{a}

    Moltiplichiamo a destra e a sinistra dell'uguale per a

    \frac{\sqrt{3}}{2}a=c \ \ \to \ \ a=\frac{2}{\sqrt{3}}c

    Ci siamo quasi! Sostituiamo b=2 e il valore di a così ottenuto nella formula (\bullet)

    c^2=a^2-b^2 \ \to \ c^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}c\right)^2 - 2^2

    calcoliamo i quadrati

    c^2 = \frac{4}{3}c^2 - 4

    Determiniamo il valore di c^2

    \frac{4}{3}c^2 - c^2 = 4 \ \to \ \frac{1}{3} c^2 = 4 \ \to \ c^2=12

    e, da esso, il valore di a^2. Dalla relazione

    a=\frac{2}{\sqrt{3}}c

    segue che

    a^2=\frac{4}{3}c^2=\frac{4}{3} \cdot 12 = 16

    In definitiva, l'equazione dell'ellisse cercata è

    \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4} = 1

    e i fuochi sono

    F_1(-c,0)=(-2\sqrt{3},0) \ \ ; \ \ F_2(c,0)=(2\sqrt{3},0)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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