Soluzioni
  • Ciao moscamoscerino :)

    L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate ha equazione del tipo

    y=ax^2+bx+c \mbox{ con } a\neq 0

    Dobbiamo quindi, sfruttando i dati forniti dal problema, determinare il valore dei parametri a, \ b \mbox{ e } c.

    Sappiamo che l'asse della parabola ha equazione x=1 e poiché su di esso giace il vertice della parabola di coordinate

    V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)

    abbiamo che

    -\frac{b}{2a}=1 \iff b=-2a \to \mbox{ Prima condizione}

    Inoltre sapendo che l'ordinata del vertice è -2 possiamo imporre che sia

    -\frac{\Delta}{4a}=-2 \mbox{ ossia } \Delta=8a \to \mbox{ Seconda condizione}

    Infine sapendo che la direttrice ha equazione y=-\frac{3}{2} e ricordando che, in generale, l'equazione della direttrice di una parabola con asse verticale è data da

    y=-\frac{1+\Delta}{4a}

    possiamo ricavare la terza condizione

    -\frac{1+\Delta}{4a}=-\frac{3}{2} \iff 1+\Delta = 6a \iff \Delta=6a-1 \to \mbox{ Terza condizione}

    Mettiamo ora a sistema le tre condizioni trovare

    \begin{cases}b=-2a \\ \Delta=8a \\ \Delta=6a-1\end{cases}

    Combinando la seconda e la terza ricaviamo

    8a=6a-1 \iff 2a=-1 \iff a=-\frac{1}{2}

    Da cui, sostituendo nella prima

    b=-2a=-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1

    mentre, sostituendo nella seconda

    \Delta=8a=8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-4

    Infine, ricordando che \Delta=b^2-4ac abbiamo

    c=\frac{b^2-\Delta}{4a}=\frac{1+4}{-2}=-\frac{5}{2}

    La parabola cercata ha quindi equazione

    y=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2}

    -------

    Per trovare poi i punti di intersezione tra parabola e retta basta risolvere il sistema formato dall'equazione della parabola e l'equazione della retta, ossia

    \begin{cases}y=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2}\\ y=-x-1 \end{cases}

    Sostituiamo la seconda relazione nella prima

    -x-1=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2}

    Portiamo tutto a primo membro ed ordiniamo secondo le potenze decrescenti di x

    \frac{1}{2}x^2-x-x+\frac{5}{2}-1=0

    Svolgendo i conti ricadiamo in un'equazione di secondo grado

    x^2-4x+3=0

    che ha come soluzioni

    x_1=1, \ x_2=3

    Di conseguenza, dovendo essere

    y=-x-1

    sostituendo i valori trovati per x, abbiamo

    Per x=1, y=-2; per x=3, y=-4.

    Di conseguenza, i punti di intersezione tra retta e parabola hanno coordinate

    (1,-2) \ (3,-4)

    Per saperne di più sulla posizione tra retta e parabola - click! ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria