Soluzioni
  • Ciao guisy arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • A quanto ho capito abbiamo il limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{\ln(1+5x)}

    é una forma indeterminata [0/0], in questo caso possiamo procedere in due modi, utilizzando i limiti notevoli, oppure De l'Hopital.

    Intanto inizio con i limiti notevoli.

    Primo limite notevole:

    \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1

    Secondo limite notevole:

    \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1

    Questi due limiti ci permetteranno di risolvere il nostro, vediamo come:

    Dobbiamo fare in modo di ricondurci ai limiti notevoli e per farlo al numeratore moltiplichiamo e dividiamo per 7x, al denominatore moltiplichiamo e dividiamo per 5x

    \lim_{x\to 0}\frac{7x\frac{\left(e^{7x}-1\right)}{7x}}{5x \frac{\ln(1+5x)}{5x}}=

    Semplifichiamo x

    \lim_{x\to 0}\frac{7\frac{\left(e^{7x}-1\right)}{7x}}{5 \frac{\ln(1+5x)}{5x}}=

    \frac{7}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{7x}-1}{7x}}{\frac{\ln(1+5x)}{5x}}

    Ricordando che il limite del quoziente è il quoziente dei limiti si ha:

    \frac{7}{5}\frac{\lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x}}{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}}

     

    Consideriamo ora separatamente i due limiti:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x}

    Poniamo 7x=t e osserviamo che quando x tende a zero, anche t lo fa dunque il limite si riscrive come:

    \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1

    per il primo limite notevole, questo ci permette di concludere che:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x}=1

    Adesso continuiamo con il secondo limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}

    Poniamo t= 5x e osserviamo che quando x tende a zero anche t lo fa, conseguentemente il limite si riscrive come:

    \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}= 1

    Possiamo asserire che:

    \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}= 1

    Grazie a queste informazioni possiamo concludere che:

    \frac{7}{5}\frac{\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x}}^{=1}}{\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}}_{=1}}= \frac{7}{5}

    Se hai domande, ci sono problemi, non hai fatto i limiti notevoli, fammelo sapere, procediamo in modo diverso :D 

    Risposta di Ifrit
  • no no grazie io proprio con i limiti notevoli li dovevo svolgere mi sei stato di grande aiuto !!grazie davvoro!!

    Risposta di giosy
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