Integrale di 1/cos^2(x)

L'integrale di 1/cos^2(x) è un integrale fondamentale ed è uguale alla tangente di x più una costante arbitraria.

Vediamo come si calcola. In generale calcolare l'integrale indefinito di una funzione

vuol dire trovare tutte e sole le primitive della funzione integranda .

All'atto pratico si deve cercare una funzione tale che la sua derivata prima sia uguale a , e sommarvi una costante arbitraria che individua la famiglia di tutte le possibili primitive di (possibili perché la derivata di una costante è uguale a zero):

Nel nostro caso la funzione integranda è

dunque l'integrale indefinito di 1 fratto il coseno al quadrato di x è dato da

Uno dei prerequisiti per il calcolo integrale è conoscere le derivate fondamentali, ossia le derivate delle funzioni elementari. Anche se la funzione tangente non è considerata una funzione elementare, dovremmo sapere che la derivata della tangente è uguale a . Verifichiamolo:

Scriviamo la tangente come rapporto tra seno e coseno

e usiamo la regola di derivazione di un rapporto

la derivata del seno di x è uguale a cos(x), mentre la derivata del coseno di x è uguale a -sin(x)

per l'identità fondamentale della Trigonometria il numeratore è uguale a 1

e in definitiva:

Abbiamo così trovato una funzione la cui derivata prima è

dunque

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Non abbiamo altro da aggiungere, se non consigliarti:

- di fare un ripasso sugli integrali fondamentali;

- di usare il tool sugli integrali indefiniti online per verificare il risultato di qualsiasi integrale.