Soluzioni
  • Ciao Elly, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Se disegni un triangolo isoscele ABC e poi disegni il triangolo costruito sui punti medi E,F,G dei lati AB,BC,AC, sappiamo in automatico (è un risultato fondamentale della geometria euclidea del piano) che il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato.

    Dunque

    EF// AC

    EG// BC

    FG// AB

    A questo punto si tratta di applicare il teorema di Talete, per il quale un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali viene diviso in segmenti proporzionali.

    Vedere che il triangolo EFG è isoscele è a questo punto immediato, infatti

    EF=\frac{1}{2}BC

    FG=\frac{1}{2}AB

    ed essendo per ipotesi AB=BC ne ricaviamo che EF=FG.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Però io il teorema di Talete non l'ho mai fatto, non c'è un altro modo più semplice?

    Noi usiamo i criteri di congruenza dei triangoli..

    Risposta di Elly
  • Vada per i criteri di congruenza tra triangoliLaughing

    Che il lato EF sia parallelo ad AC lo abbiamo visto.

    Senza usare Talete, possiamo notare che gli angoli BEF=BAC e BFE=BCA sono congruenti in quanto angoli corrispondenti. Discorso del tutto analogo per gli angoli

    GFC=ABC

    AEG=ABC

    che sono rispettivamente coppie di angoli corrispondenti.

    Guardiamo i triangoli

    AEG,EBF

    che hanno congruenti i lati AE=EB (E è punto medio di AB) e gli angoli BAC=BEF e AEG=EBF (corrispondenti).

    Abbiamo applicato il secondo criterio di congruenza.

    Il triangolo EBF è isoscele (perché EB=BF, essendo E,F i punti medi di AB,BC), quindi anche il triangolo AEG è isoscele.

    Discorso del tutto analogo per i triangoli EBF=GFC, per cui si conclude che GFC è un triangolo isoscele.

    Per concludere basta osservare che

    AE=EB=BF=FC

    per cui essendo

    AF=EG e FG=FC

    si conclude che

    EG=FG

    e il triangolo EFG è isoscele.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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