Soluzioni
  • Ciao ely :)

    Ci viene data l'equazione di un'iperbole equilatera in termini di un parametro reale a

    y=\frac{ax+1}{x-2a}

    e dobbiamo stabilire per quali valori del parametro si trasforma nell'iperbole di equazione

    x^2-y^2=-3

    Come suggerito dal testo serviamoci di due trasformazioni geometriche piane, in particolare di una traslazione che porta il centro di simmetria nell'origine e di una rotazione.

    Partendo da una generica funzione omografica (->leggimi) 

    y=\frac{Ax+B}{Cx+D}

    il suo centro di simmetria ha coordinate cartesiane date da

    \left(-\frac{D}{C}, \ \frac{A}{C}\right)

    Nel nostro caso, l'iperbole equilatera è data dalla seguente funzione omografica

    y=\frac{ax+1}{x-2a}

    ossia A=a, \ B=1, \ C=1, \ D=-2a. Pertanto il suo centro di simmetria ha coordinate

    \left(-\frac{D}{C}, \ \frac{A}{C}\right)=\left(-\frac{-2a}{1}, \ \frac{a}{1}\right)=(2a, \ a)

    Affinché tale centro coincida con l'origine dobbiamo quindi effettuare una traslazione di vettore \overline{v}=(2a, \ a) che è data da

    \begin{cases}x'=x-2a \\ y'=y-a\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}x=x'+2a \\ y=y'+a\end{cases}

    Andando a sostituire nell'equazione di partenza vien fuori

    y'+a=\frac{a(x'+2a)+1}{x'+2a-2a}

    ossia

     (*) \ y'=\frac{ax'+2a^2+1}{x'}-a

     

    A tale iperbole dobbiamo ora applicare una rotazione di centro l'origine degli assi ed angolo \theta=45^{\circ} in quanto gli assi dell'iperbole

    x^2-y^2=-3

    hanno tale inclinazione rispetto agli assi coordinati. Le equazioni che definiscono tale rotazione sono definite in termini di seno e coseno:

    \begin{cases}X=\cos(45^{\circ})x'-\sin(45^{\circ})y' \\ Y=\cos(45^{\circ})x'+\sin(45^{\circ})y'\end{cases}

    che, ricordando i valori del seno e del coseno di 45 gradi, possiamo riscrivere come

    \begin{cases}X=\frac{\sqrt{2}}{2}x'-\frac{\sqrt{2}}{2}y' \\ Y=\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\end{cases}

    Ricaviamoci ora i valori di x' e y' in funzione di X ed Y che andremo poi a sostituire in (*); lascio a te i semplici conti. Dovresti ottenere

    \begin{cases}x'=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y) \\ y'=\frac{1}{\sqrt{2}}(Y-X)\end{cases}

    Sostituendo in 

     (*) \ y'=\frac{ax'+2a^2+1}{x'}-a

    vien fuori

    \frac{1}{\sqrt{2}}(Y-X)=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}(X+Y)+2a^2+1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(X+Y\right)}-a

    ossia, dopo qualche conticino puramente algebrico

    X^2-Y^2=-4a^2-2

    Dovendo tale iperbole trasformarsi in

    x^2-y^2=-3

    basta imporre che sia

    -4a^2-2=-3 \to 4a^2+2=3

    Siamo così ricaduti in un'equazione di secondo grado pura nella variabile a che ha come soluzioni

    4a^2=1 \iff a^2=\frac{1}{4} \iff a=\pm\frac{1}{2}

    Abbiamo ottenuto le soluzioni fornite dal testo :)

    Per non lasciare spazio a dubbi ti invito a dare un'occhiata alle formule che definiscono le trasformazioni geometriche - click!

    Risposta di Omega
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