Soluzioni
  • Ciao Elektronik89 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Hai studiato il criterio integrale? O il criterio di condensazione di Cauchy?

    Risposta di Ifrit
  • Ho cisto che con il criterio integrale la soluzione esiste, ma non avendolo visto pensavo che c'era qualcun altro che aveva potuto trovare un CONFRONTO che mi sfuggiva! :)

    Risposta di elektronik89
  • Ho visto che con il criterio integrale la soluzione esiste, ma non avendolo visto pensavo che c'era qualcun altro che aveva potuto trovare un CONFRONTO che mi sfuggiva! :)

    Risposta di elektronik89
  • Risposta di Omega
  • Quando ci sono logaritmi, tendenzialmente il confronto asintotico fallisce,  così come il criterio del confronto semplice. Invece vanno alla grande sia il criterio di condensazione di Cauchy che quello integrale :)

     

    Risposta di Ifrit
  • Omega,  non ti ho visto entrare xD XD

    Risposta di Ifrit
  • E' perché l'ho fatto come lo fanno i Ninja! Laughing

    Risposta di Omega
  • Ok,  la sezione facci la tua domanda è chiusa, ma io rispondo proponendoti il criterio integrale.

    Consideriamo la successione il cui termine n-esimo è


    a_n= \frac{1}{n\ln^2(n)}

    La successione è infinitesima , decrescente ed è a termini positivi. Consideriamo il prolungamento reale:

    f(x)= \frac{1}{x\ln^2(x)}

    La serie converge se e solo se converge l'integrale:

    \int_a^\infty \frac{1}{x\ln^2(x)}\mbox{ con }a>2

    che per definizione è uguale a

    \lim_{M\to +\infty}\int_a^M \frac{1}{x\ln^2(x)}\mbox{ con }a>2

    Ora:

     

    \int_{a}^{M} \frac{1}{x\ln^2(x)}dx=\left[-\frac{1}{\ln|x|}\right]_a^M=

    -\frac{1}{\ln|M|}+\frac{1}{\ln|a|}

    Dunque:

    \lim_{M\to +\infty}\int_a^M \frac{1}{x\ln^2(x)}=

    \lim_{M\to +\infty}-\frac{1}{\ln|M|}+\frac{1}{\ln|a|}= \frac{1}{\ln(a)}\quad a>2

    L'integrale converge pertanto lo fa anche la nostra cara serie :D

     

    Risposta di Ifrit
 
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