Massima lunghezza di un segmento con due parabole
Ciao, non riesco a fare questo esercizio sulla massima lunghezza di un segmento con due parabole.
Scrivere l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse y che passa per il punto A(0;2) e ha il fuoco nel punto F(-1/2;2).
Siano A e B i punti in comune alle due parabole che risolvono il problema. Sia D un punto dell'arco AB di una delle due parabole e E un un punto, avente la stessa ascissa di D, sull'arco AB dell'altra parabola. Fra tutti i segmenti DE che si possono così costruire, quanto misura quello che ha la massima lunghezza?
Da quando mi chiede siano A e B.....non ho proprio idea di come si faccia.
Grazie!
Ok iniziamo :D
La parabola (click per le formule) ha asse di simmetria parallelo all'asse Y conseguentemente sarà del tipo:
Sappiamo che essa passa per il punto
Imponendo il passaggio otterremo:
Inoltre sappiamo che il fuoco ha coordinate:
Ora noi che facciamo? Scriviamo le coordinate generice del fuoco in funzione dei parametri a, b, c che definiscono la parabola:
Da cui otteniamo la condizione:
Inoltre sappiamo che:
Abbiamo quindi il sistema:
Procedendo per sostituzione, l'ultima equazione si riscrive come:
Portiamo al primo membro e facciamo il minimo comune multiplo:
Da cui otteniamo l'equazione:
In corrispondenza di a_1 abbiamo b_1=-1
In corrispondenza di a_2 abbiamo b_2=1
Le equazioni che soddisfano le condizioni imposte dal problema sono quindi due:
Impostiamo il sistema per determinare i punti in comune
Procediamo come al solito per sostituzione:
Portiamo al primo membro e sommiamo i termini simili:
Quindi:
Le due soluzioni sono:
a cui è associato il valore
e
a cui è associato il valore:
Quindi i punti di intersezione sono:
Fin qui ti torna tutto?
Risposta di Ifrit
si mi trovo! i conti sono giusti :)
Risposta di Mindy
Ok, a questo punto consideriamo il punto D che appartiene all'arco di estremi AB della prima parabola
(su AB ci andrebbe un cappuccio per indicare l'arco, ma in latex non ricordo come si fa)
Poiché D appartiene 
allora le sue coordinate sono:
L'altro punto, E, ha la stessa ascissa di D, però appartiene all'altra parabola, le sue coordinate saranno quindi:
La distanza tra i due punti D e E ci dice quanto è lungo il segmento DE:
Ora osserva che per x compreso tra -1 e 0 l'argomento del valore assoluto è negativo quindi:
Determinare la massima lunghezza del segmento AB corrisponde a calcolare il massimo della parabola di equazione
È una parabola con la concavità verso il basso (perché il coefficiente di x^2 è negativo) ed ha massimo nel suo vertice che ha coordinate:
Dunque la massima lunghezza è data dall'ordinata del vertice, quindi:
È un esercizio molto lungo! :P
Risposta di Ifrit
grazie mille :D
Risposta di Mindy