Soluzioni
  • Ok iniziamo :D

    La parabola (click per le formule) ha asse di simmetria parallelo all'asse Y conseguentemente sarà del tipo:

    \Pi: y= ax^2+bx+c

    Sappiamo che essa passa per il punto 

    A(0, 2)

    Imponendo il passaggio otterremo:

    A\in\Pi\iff c=2

    Inoltre sappiamo che il fuoco ha coordinate:

    F\left(-\frac{1}{2}, 2\right)

    Ora noi che facciamo? Scriviamo le coordinate generice del fuoco in funzione dei parametri a, b, c che definiscono la parabola:

    x_F= -\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}

    Da cui otteniamo la condizione:

    b= a

    Inoltre sappiamo che:

    y_F= \frac{1-(b^2-4a c)}{4a}= 2

    Abbiamo quindi il sistema:

    \begin{cases}c=2\\ b=a\\ \frac{1-b^2+4ac}{4a}=2\end{cases}

    Procedendo per sostituzione, l'ultima equazione si riscrive come:

    \frac{1-a^2+8a}{4a}=2

    Portiamo al primo membro e facciamo il minimo comune multiplo:

    \frac{1-a^2+8a-8a}{4a}=0

    Da cui otteniamo l'equazione:

    1-a^2=0\iff a_1=-1\vee a_2=1

    In corrispondenza di a_1 abbiamo b_1=-1

    In corrispondenza di a_2 abbiamo b_2=1

    Le equazioni che soddisfano le condizioni imposte dal problema sono quindi due:

    \Pi_1: y=-x^2-x+2

    \Pi_2: y=x^2+x+2

    Impostiamo il sistema per determinare i punti in comune

    \begin{cases}y= -x^2-x+2\\ y=x^2+x+2\end{cases}

    Procediamo come al solito per sostituzione:

    -x^2-x+2= x^2+x+2

    Portiamo al primo membro e sommiamo i termini simili:

    -2x^2-2x=0

    Quindi:

    -2x(x+1)=0

    Le due soluzioni sono:

    x_1=0

    a cui è associato il valore

    y_1=2

    e

    x_2= -1

    a cui è associato il valore:

    y_2= 2

    Quindi i punti di intersezione sono:

    A(0,2) 

    B(-1, 2)

    Fin qui ti torna tutto?

    Risposta di Ifrit
  • si mi trovo! i conti sono giusti :)

    Risposta di Mindy
  • Ok, a questo punto consideriamo il punto D che appartiene all'arco di estremi AB della prima parabola

    D\in AB_{\Pi_1}  

    (su AB ci andrebbe un cappuccio per indicare l'arco, ma in latex non ricordo come si fa)

    Poiché D appartiene \Pi_1 allora le sue coordinate sono:

    D(x, -x^2-x+2)

    L'altro punto, E, ha la stessa ascissa di D, però appartiene all'altra parabola, le sue coordinate saranno quindi:

    E(x, x^2+x+2)

    La distanza tra i due punti D e E ci dice quanto è lungo il segmento DE:

    \overline{DE}= \sqrt{(x-x)^2+(x^2+x+2-(-x^2-x+2))^2}=

    = \sqrt{(x^2+x+2+x^2+x-2)^2}=|2x^2+2x|\quad \mbox{ con }-1<x<0

    Ora osserva che per x compreso tra -1 e 0 l'argomento del valore assoluto è negativo quindi:

    |2x^2+2x|= -2x^2-2x\quad -1<x<0

    Determinare la massima lunghezza del segmento AB corrisponde a calcolare il massimo della parabola di equazione

    y= -2x^2-2x

    È una parabola con la concavità verso il basso (perché il coefficiente di x^2 è negativo) ed ha massimo nel suo vertice che ha coordinate:

    V\left(-\frac{-2}{-4}, -\frac{(-2)^2-4\cdot(-2)\cdot 0}{-8}\right)=

    = \left(-\frac{1}{2}, \frac{4}{8}\right)

    = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

    Dunque la massima lunghezza è data dall'ordinata del vertice, quindi:

    d_{Max}=\frac{1}{2}

    È un esercizio molto lungo! :P

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille :D

    Risposta di Mindy
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