Esercizio limite con radice quadrata

Dobbiamo calcolare due limiti

partendo dal primo ossia:

Il termine tende a per mentre il radicando del termine irrazionale genera una forma di indecisione del tipo . Analizziamo a parte tale termine

Raccogliamo l'infinito di ordine superiore nel radicando, ossia

e invocando le proprietà delle radici possiamo scrivere la radice di un prodotto come prodotto delle radici a patto che i radicandi siano non negativi

In accordo con la definizione di valore assoluto, sappiamo sussistere l'identità

e poiché , la variabile sarà prima o poi negativa, si ha dunque

e il limite si esprime nella forma equivalente

In definitiva, l'algebra degli infiniti ci permette di concludere che il limite è

Occupiamoci del limite

che genera una forma di indecisione . Per risolverla eseguiamo una razionalizzazione, ossia moltiplichiamo e dividiamo per il termine:

così che il limite si esprima nella forma equivalente

Calcoliamo il prodotto al numeratore utilizzando la regola relativa al prodotto di una somma per differenza

e in accordo con la definizione di radice quadrata otteniamo il limite

Sommando tra loro i termini simili, giungiamo all'espressione

Purtroppo la forma di indecisione non è ancora sparita, dobbiamo ingegnarci un po' per raggiungere il risultato.

Raccogliamo all'interno del radicando

e invochiamo la proprietà delle radici che ci permette di scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici

Utilizziamo ancora una volta l'identità ed osserviamo che questa volta la variabile pertanto sarà definitivamente positiva e di conseguenza .

Tale osservazione ci permette di esprimere il limite come

Raccogliamo totalmente a denominatore e semplifichiamola con quella al numeratore

Quando il termine conseguentemente possiamo concludere che il limite dato è e scriveremo:

Abbiamo portato a termine il nostro compito!