Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare due limiti

    \\ (a) \ \ \ \lim_{x\to -\infty}(2x-\sqrt{4x^2+x}) \\ \\ (b) \ \ \ \lim_{x\to +\infty}(2x-\sqrt{4x^2+x})

    partendo dal primo ossia:

    (a) \ \ \ \lim_{x\to -\infty}(2x-\sqrt{4x^2+x})=(\bullet)

    Il termine 2x tende a -\infty per x\to -\infty mentre il radicando del termine irrazionale genera una forma di indecisione del tipo [\infty-\infty]. Analizziamo a parte tale termine

    \lim_{x\to -\infty}\sqrt{4x^2+x}=

    Raccogliamo l'infinito di ordine superiore nel radicando, ossia x^2

    =\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}=

    e invocando le proprietà delle radici possiamo scrivere la radice di un prodotto come prodotto delle radici a patto che i radicandi siano non negativi

    =\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}\sqrt{4+\frac{1}{x}}=(\bullet)

    In accordo con la definizione di valore assoluto, sappiamo sussistere l'identità

    \sqrt{x^2}=|x| \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    e poiché x\to -\infty, la variabile x sarà prima o poi negativa, si ha dunque

    |x|=-x\ \ \ \mbox{per}\ x<0

    e il limite (\bullet) si esprime nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to -\infty}-x\sqrt{4+\frac{1}{x}}=+\infty

    In definitiva, l'algebra degli infiniti ci permette di concludere che il limite (a) è -\infty

    \lim_{x\to-\infty}(2x-\sqrt{4x^2+x})=[-\infty+(-\infty)]=-\infty

     

    Occupiamoci del limite (b)

    (b)\ \ \ \lim_{x\to+\infty}(2x-\sqrt{4x^2+x})=

    che genera una forma di indecisione [+\infty-\infty]. Per risolverla eseguiamo una razionalizzazione, ossia moltiplichiamo e dividiamo per il termine:

    2x+\sqrt{4x^2+x}

    così che il limite si esprima nella forma equivalente

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-\sqrt{4x^2+x})(2x+\sqrt{4x^2+x})}{2x+\sqrt{4x^2+x}}=

    Calcoliamo il prodotto al numeratore utilizzando la regola relativa al prodotto di una somma per differenza

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{(2x)^2-(\sqrt{4x^2+x})^2}{2x+\sqrt{4x^2+x}}=

    e in accordo con la definizione di radice quadrata otteniamo il limite

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2-(4x^2+x)}{2x+\sqrt{4x^2+x}}=

    Sommando tra loro i termini simili, giungiamo all'espressione

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{2x+\sqrt{4x^2+x}}=

    Purtroppo la forma di indecisione non è ancora sparita, dobbiamo ingegnarci un po' per raggiungere il risultato.

    Raccogliamo x^2 all'interno del radicando

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{2x+\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}}=

    e invochiamo la proprietà delle radici che ci permette di scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{2x+\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{4+\frac{1}{x}}}=

    Utilizziamo ancora una volta l'identità \sqrt{x^2}=|x| ed osserviamo che questa volta la variabile x\to +\infty pertanto sarà definitivamente positiva e di conseguenza |x|=x.

    Tale osservazione ci permette di esprimere il limite come

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}}=

    Raccogliamo totalmente x a denominatore e semplifichiamola con quella al numeratore

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x\left(2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}\right)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}

    Quando x\to+\infty il termine \frac{1}{x}\to 0 conseguentemente possiamo concludere che il limite dato è -\frac{1}{4} e scriveremo:

    \lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}=-\frac{1}{2+\sqrt{4}}=-\frac{1}{4}

    Abbiamo portato a termine il nostro compito!

    Risposta di Ifrit
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