Limite a +infinito di un polinomio

Question

Per calcolare il limite lim_(x → +∞)(-2x^9+4x^4-1) bisogna necessariamente ricorrere al confronto tra infiniti oppure esiste qualche limite notevole che possa aiutarmi a raggiungere la soluzione?

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per calcolare il limite lim_(x → +∞)(-2x^9+4x^4-1) = (•) bisogna effettuare un confronto tra infiniti. Proporremo due strategie risolutive per il limite che a conti fatti risultano perfettamente equivalenti. Primo metodo Limitandoci a considerare il termine di grado massimo, che corrisponde all'infinito di ordine superiore (•) = lim_(x → +∞)(-2x^9) = -∞ Il risultato si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Secondo metodo Possiamo raccogliere il termine di grado massimo (•) = lim_(x → +∞)x^9(-2+(4)/(x^5)-(1)/(x^9)) = ed osservare che al tendere di x → +∞ i termini con le potenze di x al denominatore sono infinitesimi (4)/(x^5) → 0 , (1)/(x^9) → 0 per x → +∞ In accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi possiamo concludere che il limite dato è-∞ (•) = lim_(x → +∞)x^9·(-2) = -∞ Nota: il secondo modo di procedere è la giustificazione implicita del primo.