Soluzioni
  • Ciao Valelaur :)

    Indichiamo con a, \ b, \ c, \ d le misure dei quattro lati di un quadrilatero. Il testo del problema ci dice che la somma e la differenza di due lati (li possiamo dunque scegliere a nostro piacimento) sono rispettivamente 82 e 12 centimetri, e gli altri due lati sono uguali. Supponiamo quindi che:

    a+b=82 \ \mbox{cm}

    a-b=12 \ \mbox{cm}

    c=d

    Dobbiamo trovare la misura dei quattro lati sapendo che il perimetro (che indicheremo con 2p) del quadrilatero è uguale a 162 cm.

     

    Poiché ci viene chiesto di procedere per via algebrica, iniziamo con il trovare le misure dei lati a e b e per farlo sfrutteremo le due relazioni:

    a+b=82 \ \mbox{cm}

    a-b=12 \ \mbox{cm}

    Dalla seconda relazione possiamo trovare il valore di a in funzione di b:

    (*) \ a=b+12

    che, sostituito nella prima ci darà un'equazione di primo grado nell'incognita b.

    \underbrace{b+12}_{a}+b=82

    da cui

    2b=82-12

    2b=70

    b=\frac{70}{2}=35 \ \mbox{cm}

    Sostituendo ora il valore trovato in (*) abbiamo

    a=b+12=35+12=47 \ \mbox{cm}

    Ci rimane solo da trovare la misura degli altri due lati (che sono uguali). Utilizziamo la formula del perimetro:

    2p=a+b+c+d=

    (poiché abbiamo supposto c=d)

    =a+b+c+c=a+b+2c

    Abbiamo cioè

    2p=a+b+2c

    Sostituendo i valori noti, ricadiamo nuovamente in un'equazione di primo grado:

    \underbrace{162}_{2p} = \underbrace{47}_{a}+\underbrace{35}_{b}+2c

    da cui

    2c=162-47-35=80

    e quindi

    c=d=40 \ \mbox{cm}

    Abbiamo così concluso l'esercizio.

    Volendo invece procedere per via geometrica, possiamo trovare la misura dei lati a e b del quadrilatero procedendo come nei problemi con i segmenti con somma e differenza.

     

    Disegniamo quindi due segmenti, uno che rappresenta a e l'altro che rappresenta b e troviamo graficamente la differenza tra i due.

     

    problema sul quadrilatero con i segmenti

     

    Per trovare la misura di b basta sottrarre la misura della somma (82 cm) a quella della differenza (12 cm) e, poiché si vengono a formare due segmenti congruenti, dividere il risultato per 2. Ovvero

    b=(82-12):2=70:2=35 \ \mbox{cm}

    e, di conseguenza

    a=35+12=47 \ \mbox{cm}

    Risposta di Omega
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