Soluzioni
  • Determiniamo la prima parabola, sapendo che passa per i punti

    P(0, 2)

    A(2,1)

    B(4, 2)

    e imponendo le condizioni di appartenenza.

    Consideriamo la generica equazione della parabola

    \Pi_1:y=a x^2+bx +c

    Abbiamo:

    P(0, 2)\in \Pi_1\iff c=2

    A(2, 1)\in\Pi_1\iff  2^2a+2b+c=1\iff 4a+2b+c=1

    B(4, 2)\in \Pi_1\iff  4^2a+4b+c=2\iff 16a+4b+c=2

    Otterremo il sistema:

    \begin{cases}c=2\\ 4a+2b+c=1\\ 16a+4b+c=2\end{cases}

    risolvendolo otterremo:

    a=\frac{1}{4}

    b=-1

    c=2

    L'equazione della prima parabola è:

    \Pi_1: y= \frac{1}{4}x^2-x+2

    A questo punto troviamo la seconda parabola, sapendo che passa per il vertice 

    V\left(2,8\right)

    e passa per il punto

    D(0,2)

    Poiché conosciamo le coordinate del vertice possiamo scrivere l'equazione della parabola in questo modo:

    \Pi_2: y-y_V= a (x-x_V)^2

    Da cui

    y-8= a(x-2)^2

    Ci manca da determinare a, ma basta imporre la condizione di appartenenza

    D\in \Pi_2\iff 2-8= a(-2)^2\iff 4a=-6\iff a= -\frac{6}{4}= -\frac{3}{2}

    L'equazione della seconda parabola è:

    y-8= -\frac{3}{2}(x-2)^2\iff y= -\frac{3}{2}(x^2-4x+4)+8\iff

    \iffy=-\frac{3}{2}x^2+6x-6+8

    Da cui

    y= -\frac{3}{2}x^2+6x+2

    Fin qui tornano i conti?

    Risposta di Ifrit
  • si mi trovo, ho capito dove ho sbagliato, non ho imposto il passaggio anche per P(0;2) e grazie per avermi insegnato come trovare l'equazione della parabola sapendo il Vertice :)

    Risposta di Mindy
  • Ok, ora continuiamo, dobbiamo determinare i punti di intersezione tra le due parabole:

    \begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-x+2\\ y=-\frac{3}{2}x^2+6x+2\end{cases}

    Procediamo per sostituzione, otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

    \frac{1}{4}x^2-x+2= -\frac{3}{2}x^2+6x+2

    Facciamo il minimo comune multiplo:

    \frac{x^2-4x+8}{4}= \frac{-6x^2+24x+8}{4}

    Il denominatore non serve più perché uguale membro a membro:

    x^2-4x+8=-6x^2+24x+8

    Portiamo tutto al primo membro:

    x^2+6x^2-4x-24x+8-8=0

    7x^2-28x=0

    Da cui:

    x(7x-28)=0

    Otteniamo due soluzioni:

    x=0\implies y=2

    7x-28=0\iff x=4\implies y=2

    Abbiamo quindi che i punti di intersezione sono:

    A_1(0,2)

    e

    A_2(4, 2)

    Prima di procedere alla ricerca delle equazioni delle rette tangenti, vorrei farti una domanda.

    Hai studiato le formule di sdoppiamento? :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie :)

    x=0\implies y=2

    scusa che hai fatto qui, perché y=2\ ?

    Le formule di sdoppiamento non le ho ancora studiate.

    Risposta di Mindy
  • In pratica ho preso una equazione della parabola, vanno bene tutt e due, e a x sostituisco 0

    prendi ad esempio 

    y=\frac{1}{4}x^2-x+2

    Se x=0 otteniamo y= \frac{1}{4}\cdot 0^2-0+2= 2

    Stessa cosa per x=4

    Ti trovi?

    Peccato che non ti abbiano spiegato le formule di sdoppiamento, ci saremmo sbrigati in  due passaggi, ma non disperiamo. Intanto leggi questo, io scrivo la parte restante :D

    Risposta di Ifrit
  • giusto giusto grazie :)

    Risposta di Mindy
  • Ok, iniziamo col determinare l'equazione della retta tangente alla prima parabola nel punto 

    A_1(0,2)

    Per farlo costruiamo il fascio di rette passanti per il punto A_1

    f: y-2= mx\implies y= mx+2

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y= \frac{1}{4}x^2-x+2\\y=mx+2\end{cases} 

    Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente:

    mx+2= \frac{1}{4}x^2-x+2

    Portiamo tutto al primo membro:

    -\frac{1}{4}x^2+mx+x=0

    -\frac{1}{4}x^2+x(m+1)=0

    Calcoliamo il discriminante:

    \Delta= (m+1)^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff (m+1)^2=0\iff m+1=0\iff m=-1

    L'equazione della retta è quindi:

    y= -x+2

    Adesso troviamo la retta tangente nel punto (4,2)

    Come al solito scriviamo il fascio di rette passanti per (4,2)

    y-2=m(x-4)\implies y= mx-4m+2

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y= \frac{1}{4}x^2-x+2\\y=mx-4m+2\end{cases} 

    Procediamo per sostituzione:

    \frac{1}{4}x^2-x+2= mx-4m+2

    Portiamo tutto al primo membro:

    \frac{1}{4}x^2-x+2-mx+4m-2=0

    Otteniamo l'equazione risolvente:

    \frac{x^2}{4}-(1+m)x+4m=0

    Il determinante è:

    \Delta= (1+m)^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot 4m=

    \Delta= 1+2m+m^2-4m=m^2-2m+1= (m-1)^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff (m-1)^2=0\iff m-1=0\iff m=1

    Quindi la retta è:

    y= x-2

    Abbiamo finito con la prima parabola.

    Adesso arrivano le rette tangenti della seconda parabola.

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille :D

    Risposta di Mindy
  • Ok procediamo con la seconda parabola.

    y=-\frac{3}{2}x^2+6x+2

    Costruiamo il fascio di rette passanti per 

    A_1(0,2)

    y-2= mx

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y=-\frac{3}{2}x^2+6x+2\\ y=mx+2\end{cases}

    La cui risolvente è:

    -\frac{3}{2}x^2+6x+2= mx+2

    Da cui

    -\frac{3}{2}x^2+6x-mx=0

    Il delta associato è:

    \Delta= (6-m)^2

    La condizione di tangenza ci permette di scrivere che:

    (6-m)^2=0\iff 6-m=0\iff m=6

    L'equazione della retta tangente è quindi:

    y= 6x-2

     

    Facciamo gli stessi passaggi per A_2(4, 2)

     

    Costruiamo il fascio di rette passanti per 

    A_2(4,2)

    y-2= m(x-4)\implies y= mx-4m+2

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y=-\frac{3}{2}x^2+6x+2\\ y=mx-4m+2\end{cases}

    La cui risolvente è:

    -\frac{3}{2}x^2+6x+2= mx-4m+2

    Da cui

    -\frac{3}{2}x^2+6x-mx+4m=0

    Il delta associato è:

    \Delta= (6-m)^2-4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\cdot 4m=(6-m)^2+24m=

    36+12m+m^2=(m+6)^2

    La condizione di tangenza ci permette di scrivere che:

    (m+6)^2=0\iff 6+m=0\iff m=-6

    L'equazione della retta tangente è quindi:

    y= -6x-4\cdot (-6)+2

    y=-6x+24+2=-6x+26

     

    Finito.... Un parto quadrigemellare

    Risposta di Ifrit
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