Parabola con passaggio per due punti e intersezione

Ciao, mi potreste spiegare come risolvere questo esercizio in cui devo determinare l'equazione della parabola?

Scrivere l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c che taglia l'asse y nel punto di ordinata 2 e passa per A(2;1) e B(4;2). Analogamente per la parabola passante per C(0;2) e avente il vertice in D(2;8). Trovare i punti comuni alle due parabole e le tangenti in essi

Grazie! (:

Domanda di Mindy
Soluzioni

Determiniamo la prima parabola, sapendo che passa per i punti

P(0, 2)

A(2,1)

B(4, 2)

e imponendo le condizioni di appartenenza.

Consideriamo la generica equazione della parabola

Π_1:y = a x^2+bx+c

Abbiamo:

P(0, 2)∈ Π_1 ⇔ c = 2

A(2, 1)∈Π_1 ⇔ 2^2a+2b+c = 1 ⇔ 4a+2b+c = 1

B(4, 2)∈ Π_1 ⇔ 4^2a+4b+c = 2 ⇔ 16a+4b+c = 2

Otterremo il sistema:

c = 2 ; 4a+2b+c = 1 ; 16a+4b+c = 2

risolvendolo otterremo:

a = (1)/(4)

b = −1

c = 2

L'equazione della prima parabola è:

Π_1: y = (1)/(4)x^2−x+2

A questo punto troviamo la seconda parabola, sapendo che passa per il vertice 

V(2,8)

e passa per il punto

D(0,2)

Poiché conosciamo le coordinate del vertice possiamo scrivere l'equazione della parabola in questo modo:

Π_2: y−y_V = a (x−x_V)^2

Da cui

y−8 = a(x−2)^2

Ci manca da determinare a, ma basta imporre la condizione di appartenenza

D∈ Π_2 ⇔ 2−8 = a(−2)^2 ⇔ 4a = −6 ⇔ a = −(6)/(4) = −(3)/(2)

L'equazione della seconda parabola è:

y−8 = −(3)/(2)(x−2)^2 ⇔ y = −(3)/(2)(x^2−4x+4)+8 ⇔

⇔ y = −(3)/(2)x^2+6x−6+8

Da cui

y = −(3)/(2)x^2+6x+2

Fin qui tornano i conti?

Risposta di Ifrit

si mi trovo, ho capito dove ho sbagliato, non ho imposto il passaggio anche per P(0;2) e grazie per avermi insegnato come trovare l'equazione della parabola sapendo il Vertice :)

Risposta di Mindy

Ok, ora continuiamo, dobbiamo determinare i punti di intersezione tra le due parabole:

y = (1)/(4)x^2−x+2 ; y = −(3)/(2)x^2+6x+2

Procediamo per sostituzione, otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

(1)/(4)x^2−x+2 = −(3)/(2)x^2+6x+2

Facciamo il minimo comune multiplo:

(x^2−4x+8)/(4) = (−6x^2+24x+8)/(4)

Il denominatore non serve più perché uguale membro a membro:

x^2−4x+8 = −6x^2+24x+8

Portiamo tutto al primo membro:

x^2+6x^2−4x−24x+8−8 = 0

7x^2−28x = 0

Da cui:

x(7x−28) = 0

Otteniamo due soluzioni:

x = 0 ⇒ y = 2

7x−28 = 0 ⇔ x = 4 ⇒ y = 2

Abbiamo quindi che i punti di intersezione sono:

A_1(0,2)

e

A_2(4, 2)

Prima di procedere alla ricerca delle equazioni delle rette tangenti, vorrei farti una domanda.

Hai studiato le formule di sdoppiamento? :)

Risposta di Ifrit

Grazie :)

x = 0 ⇒ y = 2

scusa che hai fatto qui, perché y = 2 ?

Le formule di sdoppiamento non le ho ancora studiate.

Risposta di Mindy

In pratica ho preso una equazione della parabola, vanno bene tutt e due, e a x sostituisco 0

prendi ad esempio 

y = (1)/(4)x^2−x+2

Se x=0 otteniamo y = (1)/(4)·0^2−0+2 = 2

Stessa cosa per x=4

Ti trovi?

Peccato che non ti abbiano spiegato le formule di sdoppiamento, ci saremmo sbrigati in  due passaggi, ma non disperiamo. Intanto leggi questo, io scrivo la parte restante :D

Risposta di Ifrit

giusto giusto grazie :)

Risposta di Mindy

Ok, iniziamo col determinare l'equazione della retta tangente alla prima parabola nel punto 

A_1(0,2)

Per farlo costruiamo il fascio di rette passanti per il punto A_1

f: y−2 = mx ⇒ y = mx+2

Impostiamo il sistema:

y = (1)/(4)x^2−x+2 ; y = mx+2 

Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente:

mx+2 = (1)/(4)x^2−x+2

Portiamo tutto al primo membro:

−(1)/(4)x^2+mx+x = 0

−(1)/(4)x^2+x(m+1) = 0

Calcoliamo il discriminante:

Δ = (m+1)^2

Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ = 0 ⇔ (m+1)^2 = 0 ⇔ m+1 = 0 ⇔ m = −1

L'equazione della retta è quindi:

y = −x+2

Adesso troviamo la retta tangente nel punto (4,2)

Come al solito scriviamo il fascio di rette passanti per (4,2)

y−2 = m(x−4) ⇒ y = mx−4m+2

Impostiamo il sistema:

y = (1)/(4)x^2−x+2 ; y = mx−4m+2 

Procediamo per sostituzione:

(1)/(4)x^2−x+2 = mx−4m+2

Portiamo tutto al primo membro:

(1)/(4)x^2−x+2−mx+4m−2 = 0

Otteniamo l'equazione risolvente:

(x^2)/(4)−(1+m)x+4m = 0

Il determinante è:

Δ = (1+m)^2−4·(1)/(4)·4m =

Δ = 1+2m+m^2−4m = m^2−2m+1 = (m−1)^2

Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ = 0 ⇔ (m−1)^2 = 0 ⇔ m−1 = 0 ⇔ m = 1

Quindi la retta è:

y = x−2

Abbiamo finito con la prima parabola.

Adesso arrivano le rette tangenti della seconda parabola.

Risposta di Ifrit

grazie mille :D

Risposta di Mindy

Ok procediamo con la seconda parabola.

y = −(3)/(2)x^2+6x+2

Costruiamo il fascio di rette passanti per 

A_1(0,2)

y−2 = mx

Impostiamo il sistema:

y = −(3)/(2)x^2+6x+2 ; y = mx+2

La cui risolvente è:

−(3)/(2)x^2+6x+2 = mx+2

Da cui

−(3)/(2)x^2+6x−mx = 0

Il delta associato è:

Δ = (6−m)^2

La condizione di tangenza ci permette di scrivere che:

(6−m)^2 = 0 ⇔ 6−m = 0 ⇔ m = 6

L'equazione della retta tangente è quindi:

y = 6x−2

Facciamo gli stessi passaggi per A_2(4, 2)

Costruiamo il fascio di rette passanti per 

A_2(4,2)

y−2 = m(x−4) ⇒ y = mx−4m+2

Impostiamo il sistema:

y = −(3)/(2)x^2+6x+2 ; y = mx−4m+2

La cui risolvente è:

−(3)/(2)x^2+6x+2 = mx−4m+2

Da cui

−(3)/(2)x^2+6x−mx+4m = 0

Il delta associato è:

Δ = (6−m)^2−4·(−(3)/(2))·4m = (6−m)^2+24m =

36+12m+m^2 = (m+6)^2

La condizione di tangenza ci permette di scrivere che:

(m+6)^2 = 0 ⇔ 6+m = 0 ⇔ m = −6

L'equazione della retta tangente è quindi:

y = −6x−4·(−6)+2

y = −6x+24+2 = −6x+26

Finito.... Un parto quadrigemellare

Risposta di Ifrit

Domande della categoria Superiori - Geometria
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