Convergenza serie di Fourier
Devo determinare la serie di Fourier di una funzione 2π-periodica e studiarne la convergenza. La funzione è definita in [−π, π) da
f(x) =0 se −π ≤ x < 0
1 se 0 ≤ x ≤ π
Dunque non ho problemi a determinare la serie, solo che ora non so come studiare la convergenza della serie di Fourier. Mi aiutate? Grazie!
Ciao Alessandro, mi serve conferma sul testo della serie
è questa? :)
Risposta di Omega
sarebbe 1/2+ (cio che hai scritto tu pero spostanto il pi greco dal numeratore al denominatore) 
Risposta di Alessandro
Giusto un paio di giorni fa stavo caricando nel database il link di queste dispense di esercizi svolti sulle serie di Fourier, dove c'è lo svolgimento completo dell'esercizio che proponi.
Namasté!
Risposta di Omega
ho visto gli esercizi ma vorrei sapere il " ragionamento" che viene fatto nello studio della convergenza della serie di Fourier; si internet se ne trovano a valanga di esercizi svolti :)
Risposta di Alessandro
Ok :) credevo che vedere lo svolgimento completo fosse risolutivo per la logica che sta dietro allo svolgimento dell'esercizio medesimo, ad ogni modo si tratta di capire quale convergenza ti interessa studiare: puntuale, uniforme, totale? Solo puntuale?
Namasté!
Risposta di Omega
puntuale ed uniforme ( credo cha l'uniforme derivi poi dalla puntuale)
Risposta di Alessandro
Occhio che la convergenza uniforme non implica, in generale, assolutamente la convergenza puntuale: l'unica relazione che sussiste tra le due è che la convergenza puntuale è condizione necessaria (ma non sufficiente) uniforme.
L'obbiettivo, cioè lo studio di convergenza puntuale e uniforme, si riduce alla verifica delle definizioni (e qui si esce dal contesto delle serie di Fourier e si torna nel contesto più generale delle serie di funzioni): per la convergenza puntuale si tratta di verificare che la serie di funzioni converge punto a punto (
fissato), e che in particolare ha come somma la funzione somma (nel nostro caso la funzione 
).
Nel caso della convergenza uniforme, invece, per la verifica della definizione:
"la successione delle somme parziali converge uniformemente, su un determinato insieme, alla somma della serie"
le vie del Signore sono infinite. :)
Se poi restringiamo il discorso nello specifico alle serie di Fourier...
la convergenza puntuale in un punto 
è garantita a patto che la funzione sia
- 
periodica;
- localmente sommabile;
- continua nel punto 
- con rapporto incrementale sommabile nell'intorno del punto
Per farla breve, se hai una funzione 
continua in e con limiti del rapporto incrementale finiti (anche diversi) a sinistra e destra di , la serie di Fourier di converge puntualmente a 
.
Per la convergenza uniforme, in taluni casi si può ricorrere con opportuni barbatrucchi algebrici al criterio di Abel, ma più in generale, nel caso di funzioni -periodiche e regolari a tratti come la funzione qui presente, si può fare riferimento alla seguente condizione sufficiente di convergenza: la serie di Fourier di una funzione periodica di periodo e regolare a tratti converge uniformemente a in ogni intervallo in cui è continua.
NB: questa risposta non ha alcuna pretesa di essere esaustiva. Spero di aver dissipato i tuoi dubbi 
Namasté!
Risposta di Omega