Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare il limite fratto

    lim_(x → 0)(log_2(1+2x))/(sin(x))

    Per determinarne il valore utilizziamo i limiti notevoli.

    Possiamo procedere con il classico trucco moltiplica e dividi, in modo da far comparire i limiti notevoli del logaritmo e del seno... Oppure possiamo applicare lo stesso metodo, ma in una versione più raffinata e più evoluta (eventualmente confronta come usare i limiti notevoli).

    Ricaviamo le equivalenze asintotiche dai limiti notevoli e usiamole per semplificare il limite:

    - dal limite notevole del logaritmo in forma generale sappiamo che

    lim_(f(x) → 0)(log_a(1+f(x)))/(f(x)) = (1)/(ln(a)) (con a > 0, a ≠ 1)

    da cui ricaviamo la stima asintotica

    log_a(1+f(x)) ~ _(f(x) → 0) (f(x))/(ln(a))

    Nel nostro caso è f(x) = 2x, quindi la condizione è soddisfatta

    f(x) = 2x → 0 per x → 0

    e vale l'equivalenza asintotica

    log_2(1+2x) ~ _(x → 0)(2x)/(ln(2))

    - Per il limite notevole del seno

    lim_(x → 0)(sin(x))/(x) = 1

    da cui ricaviamo l'equivalenza asintotica

    sin(x) ~ _(x → 0)x

    Ci siamo. Il limite diventa

    lim_(x → 0)(log_2(1+2x))/(sin(x)) = lim_(x → 0)((2x)/(ln(2)))/(x)

    e semplificando x otteniamo il risultato

    lim_(x → 0)((2x)/(ln(2)))/(x) = (2)/(ln(2))

    Tutto qui. ;)

    Risposta di Omega
 
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