Limite fratto con logaritmo, seno e limiti notevoli

Question

Ho un esercizio in cui devo calcolare il limite di un rapporto con i limiti notevoli: a denominatore ho un logaritmo in base 2, mentre a denominatore ho il seno di x: lim_(x → 0)(log_2(1+2x))/(sin(x)) A me come risultato viene infinito, ma in realtà non è corretto. Vorrei capire dove sbaglio.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Dobbiamo calcolare il limite fratto lim_(x → 0)(log_2(1+2x))/(sin(x)) Per determinarne il valore utilizziamo i limiti notevoli. Possiamo procedere con il classico trucco moltiplica e dividi, in modo da far comparire i limiti notevoli del logaritmo e del seno... Oppure possiamo applicare lo stesso metodo, ma in una versione più raffinata e più evoluta (eventualmente confronta come usare i limiti notevoli). Ricaviamo le equivalenze asintotiche dai limiti notevoli e usiamole per semplificare il limite:−dal limite notevole del logaritmo in forma generale sappiamo che lim_(f(x) → 0)(log_a(1+f(x)))/(f(x)) = (1)/(ln(a)) (con a > 0, a ≠ 1) da cui ricaviamo la stima asintotica log_a(1+f(x)) ~ _(f(x) → 0) (f(x))/(ln(a)) Nel nostro caso è f(x) = 2x, quindi la condizione è soddisfatta f(x) = 2x → 0 per x → 0 e vale l'equivalenza asintotica log_2(1+2x) ~ _(x → 0)(2x)/(ln(2))−Per il limite notevole del seno lim_(x → 0)(sin(x))/(x) = 1 da cui ricaviamo l'equivalenza asintotica sin(x) ~ _(x → 0)x Ci siamo. Il limite diventa lim_(x → 0)(log_2(1+2x))/(sin(x)) = lim_(x → 0)((2x)/(ln(2)))/(x) e semplificando x otteniamo il risultato lim_(x → 0)((2x)/(ln(2)))/(x) = (2)/(ln(2)) Tutto qui. ;)