Verifica identità goniometrica con somma di archi per la tangente

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Ciao non riesco a risolvere questa identità trigonometrica con una somma degli archi per la tangente, potreste aiutarmi? Grazie :)

 

tan(x/2 + pigreco/4) = tan(x) + sec(x).

Domanda di matol

 
Soluzioni

  • Ciao Matol, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per verificare l'identità trigonometrica

    tan(((x)/(2)+(π)/(4))) = tan(x)+sec(x)

    servono solamente le formule di sommazione degli archi per funzioni goniometriche e le formule parametriche, che puoi trovare nel formulario del link. Usiamo la formula di sommazione degli archi per la tangente

    tan(((x)/(2)+(π)/(4))) = (tan(((x)/(2)))+tan(((π)/(4))))/(1-tan(((x)/(2)))tan(((π)/(4))))

    Sappiamo che

    tan(((π)/(4))) = 1

    quindi

    tan(((x)/(2)+(π)/(4))) = (tan(((x)/(2)))+1)/(1-tan(((x)/(2))))

    Per quanto riguarda il secondo membro

    tan(x)+sec(x) = (sin(x))/(cos(x))+(1)/(cos(x))

    Ora facciamo ricorso alle formule parametriche per seno e coseno, per le quali

    cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

    sin(x) = (2t)/(1+t^2)

    dove

    tan(((x)/(2))) = :t

    Possiamo riscrivere l'identità nella seguente forma

    (t+1)/(1-t) = ((2t)/(1+t^2))/((1-t^2)/(1+t^2))+(1)/((1-t^2)/(1+t^2))

    cioè

    (t+1)/(1-t) = (2t)/(1-t^2)+(1+t^2)/(1-t^2)

    (t+1)/(1-t) = (2t+1+t^2)/(1-t^2)

    (t+1)/(1-t) = (2t+1+t^2)/((1+t)(1-t))

    t+1 = ((1+t)^2)/(1+t)

    (t+1)^2 = (1+t)^2

    Voilà! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • graziee

    Risposta di matol
 
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