Verifica identità goniometrica con somma di archi per la tangente

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Ciao non riesco a risolvere questa identità trigonometrica con una somma degli archi per la tangente, potreste aiutarmi? Grazie :)

 

tan(x/2 + pigreco/4) = tan(x) + sec(x).

Domanda di matol

 
Soluzioni

  • Ciao Matol, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per verificare l'identità trigonometrica

    \tan{\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\tan{(x)}+\sec{(x)}

    servono solamente le formule di sommazione degli archi per funzioni goniometriche e le formule parametriche, che puoi trovare nel formulario del link. Usiamo la formula di sommazione degli archi per la tangente

    \tan{\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{1-\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}

    Sappiamo che

    \tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1

    quindi

    \tan{\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+1}{1-\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}

    Per quanto riguarda il secondo membro

    \tan{(x)}+\sec{(x)}=\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}+\frac{1}{\cos{(x)}}

    Ora facciamo ricorso alle formule parametriche per seno e coseno, per le quali

    \cos{(x)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

    \sin{(x)}=\frac{2t}{1+t^2}

    dove

    \tan{\left(\frac{x}{2}\right)}=:t

    Possiamo riscrivere l'identità nella seguente forma

    \frac{t+1}{1-t}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}+\frac{1}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}

    cioè

    \frac{t+1}{1-t}=\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1+t^2}{1-t^2}

    \frac{t+1}{1-t}=\frac{2t+1+t^2}{1-t^2}

    \frac{t+1}{1-t}=\frac{2t+1+t^2}{(1+t)(1-t)}

    t+1=\frac{(1+t)^2}{(1+t)}

    (t+1)^2=(1+t)^2

    Voilà! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • graziee

    Risposta di matol
 
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