Soluzioni
  • Il limite in esame

    \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{e^{x}-1}}{\sqrt{e^{x}+1}}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] giacché sia il numeratore che il denominatore vanno a più infinito per x\to +\infty. Sciogliamo la forma indeterminata facendo uso del confronto tra infiniti, ragionando separatamente per il numeratore e per il denominatore.

    Il numeratore è \sqrt{e^{x}-1} il cui radicando è una differenza tra la funzione esponenziale e una costante. Quando x\to +\infty il termine esponenziale tende a più infinito e la costante additiva può essere bellamente trascurata.

    Applichiamo lo stesso ragionamento per il denominatore \sqrt{e^{x}+1} ed osserviamo che quando x\to +\infty il termine costante può essere trascurato giacché l'esponenziale tende a più infinito.

    In accordo con il principio di eliminazione possiamo esprimere il limite iniziale nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{e^{x}}}{\sqrt{e^{x}}}=1

    Il limite è 1 per via della semplificazione.

     

    Metodo alternativo

    Possiamo procedere in modo leggermente differente per giungere comunque allo stesso risultato. A conti fatti utilizzeremo il metodo ingenuo che consiste nel mettere in evidenza l'infinito di ordine superiore sia a numeratore che a denominatore. Non rimaniamo troppo sul teorico e vediamo come calcolare il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{e^{x}-1}}{\sqrt{e^{x}+1}}=

    Nel radicando del numeratore troviamo un infinito generato dalla funzione esponenziale, esso sarà il termine da mettere in evidenza. Nel radicando del denominatore il termine che genera l'infinito è ancora l'esponenziale che verrà pertanto messo in evidenza.

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{e^{x}\left(1-\frac{1}{e^{x}}\right)}}{\sqrt{e^{x}\left(1+\frac{1}{e^{x}}\right)}}=

    Invochiamo la proprietà delle radici sul prodotto mediante la quale possiamo scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici, a patto che ogni fattore sia non negativo

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{e^{x}}\sqrt{1-\frac{1}{e^{x}}}}{\sqrt{e^{x}}\sqrt{1+\frac{1}{e^{x}}}}=(\bullet)

    Semplifichiamo \sqrt{e^{x}} ed osserviamo che quando x\to +\infty i termini fratti tendono a 0, ossia

    \\ -\frac{1}{e^{x}}\to 0 \\ \\ \\ \frac{1}{e^{x}}\to 0

    conseguentemente

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{e^{x}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{e^{x}}}}=\frac{\sqrt{1-0}}{\sqrt{1+0}}=1

    Abbiamo raggiunto lo stesso risultato.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi