Calcolo limite fratto con radici ed esponenziali

Il limite in esame

si presenta nella forma indeterminata giacché sia il numeratore che il denominatore vanno a più infinito per . Sciogliamo la forma indeterminata facendo uso del confronto tra infiniti, ragionando separatamente per il numeratore e per il denominatore.

Il numeratore è il cui radicando è una differenza tra la funzione esponenziale e una costante. Quando il termine esponenziale tende a più infinito e la costante additiva può essere bellamente trascurata.

Applichiamo lo stesso ragionamento per il denominatore ed osserviamo che quando il termine costante può essere trascurato giacché l'esponenziale tende a più infinito.

In accordo con il principio di eliminazione possiamo esprimere il limite iniziale nella forma equivalente

Il limite è 1 per via della semplificazione.

Metodo alternativo

Possiamo procedere in modo leggermente differente per giungere comunque allo stesso risultato. A conti fatti utilizzeremo il metodo ingenuo che consiste nel mettere in evidenza l'infinito di ordine superiore sia a numeratore che a denominatore. Non rimaniamo troppo sul teorico e vediamo come calcolare il limite

Nel radicando del numeratore troviamo un infinito generato dalla funzione esponenziale, esso sarà il termine da mettere in evidenza. Nel radicando del denominatore il termine che genera l'infinito è ancora l'esponenziale che verrà pertanto messo in evidenza.

Invochiamo la proprietà delle radici sul prodotto mediante la quale possiamo scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici, a patto che ogni fattore sia non negativo

Semplifichiamo ed osserviamo che quando i termini fratti tendono a 0, ossia

conseguentemente

Abbiamo raggiunto lo stesso risultato.