Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}=

    genera la forma indeterminata \left[\frac{+\infty}{-\infty}\right] che può essere risolta applicando a dovere il confronto tra infiniti. Possiamo limitarci a considerare solamente il termine x^2 all'interno del radicando tralasciando la costante additiva 3.

    In altri termini, il limite iniziale si esprime in forma equivalente

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=

    che mediante l'identità che lega la radice al valore assoluto \sqrt{x^2}=|x| diventa

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|}{x}=

    Dato che x\to -\infty, e dunque ci troviamo in un intorno di -\infty possiamo eliminare il modulo specificando il segno di x, in accordo con la definizione di valore assoluto

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{-x}{x}=-1

    Approfondimento: il procedimento proposto non è da considerarsi generale. In alcuni casi la presenza della radice consente di utilizzare il limite notevole delle potenze del tipo

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{(1+h(x))^{\theta}-1}{h(x)}=\theta

    in altri casi richiede di razionalizzare la funzione, specie per le forme di indecisione [\infty-\infty], in altri casi ancora ce la caviamo con un confronto diretto tra infiniti, come nel caso in esame.

    Non si può stabilire un metodo che valga sempre a priori, bisogna analizzare caso per caso qual è la strada migliore da percorrere.

    Può tornare utile la tabella sulle forme di indecisione e metodi di risoluzione - click!

    Risposta di Ifrit
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