Limite notevole radice quadrata

Question

Dovrei calcolare un limite per x che tende a-∞ e che genera una forma di indecisione che non so risolvere per via della presenza della radice. lim_(x → -∞)(√(x^2+3))/(x) Inoltre potreste fornirmi i metodi di risoluzione per i limiti con le radici? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → -∞)(√(x^2+3))/(x) = genera la forma indeterminata [(+∞)/(-∞)] che può essere risolta applicando a dovere il confronto tra infiniti. Possiamo limitarci a considerare solamente il termine x^2 all'interno del radicando tralasciando la costante additiva 3. In altri termini, il limite iniziale si esprime in forma equivalente = lim_(x → -∞)(√(x^2))/(x) = che mediante l'identità che lega la radice al valore assoluto √(x^2) = |x| diventa = lim_(x → -∞)(|x|)/(x) = Dato che x → -∞, e dunque ci troviamo in un intorno di-∞ possiamo eliminare il modulo specificando il segno di x, in accordo con la definizione di valore assoluto = lim_(x → -∞)(-x)/(x) = -1 Approfondimento: il procedimento proposto non è da considerarsi generale. In alcuni casi la presenza della radice consente di utilizzare il limite notevole delle potenze del tipo lim_(h(x) → 0)((1+h(x))^(θ)-1)/(h(x)) = θ in altri casi richiede di razionalizzare la funzione, specie per le forme di indecisione [∞-∞], in altri casi ancora ce la caviamo con un confronto diretto tra infiniti, come nel caso in esame. Non si può stabilire un metodo che valga sempre a priori, bisogna analizzare caso per caso qual è la strada migliore da percorrere. Può tornare utile la tabella sulle forme di indecisione e metodi di risoluzione-click!