Dimostrazione per induzione difficile

Salve, dovrei fare una dimostrazione difficile per induzione. Devo dimostrare che la soluzione del seguente sistema:

$P_{i}\prime(t)=\lambda(P_{i-1}(t)-P_{i}(t))$ per $i\geq1$

$P_{0}\prime(t)=-\lambda P_{0}(t)$

$P_{n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n!}e^{-\lambda t}$

$P.S= P_{i}\prime(t)$ sta ad indicare la derivata prima :D

Grazie

Domanda di Danilo

Soluzioni

Ciao Danilo, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Carino come esercizio :)
Puoi procedere così: per la tesi è verificata, infatti se consideri
$P_0(t)=-\frac{1}{\lambda}P'(t)$
e risolvi l'equazione differenziale ottieni come soluzione
$P_0(t)=e^{-\lambda t}+cost$
prendendo , ci siamo.
Passiamo a dimostrare che, supponendo la tesi vera per , allora ciò implica la validità della tesi per . (Passo induttivo)
Possiamo scrivere, per
$P'_{n+1}(t)=\lambda \left[P_{n}(t)-P_{n+1}(t)\right]$
dato che nella nostra ipotesi supponiamo la tesi vera per
$P'_{n+1}(t)=\lambda \left[\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}-P_{n+1}(t)\right]$
che riscriviamo come
$P'_{n+1}(t)=\lambda c(n)t^n e^{-\lambda t}-\lambda P_{n+1}(t)$
Questa è un'equazione differenziale:
$y'(t)=c(n)\lambda t^n e^{-\lambda t}- \lambda y(t)$
Risolvendola, trovi come soluzione
$y(t)=\frac{c(n) \lambda t^{n+1} e^{-\lambda t}}{n+1}+cost\cdot e^{-\lambda t}$
Prendi , sostituisci l'espressione di , e ci sei.
Namasté!
Risposta di Omega
Potresti farmi vedere come risolvere la differenziale?
Risposta di Danilo
La seconda, suppongo..
Risposta di Omega
Nessun problema :)
L'equazione differenziale è questa qui
$y'+\lambda y=c(n)\lambda e^{-\lambda t}t^n$
Il fattore $e^{-\lambda t}$ al membro di destra è un po' "rompino". Sbarazziamocene
$e^{\lambda t}y'+\lambda e^{\lambda t}y=c(n)\lambda t^n$
Guardiamo in faccia il primo membro, e vediamo subito che possiamo riscriverlo come
$\frac{d}{dt}\left(e^{\lambda t}y(t)\right)=c(n)\lambda t^n$
Integriamo entrambi i membri
$e^{\lambda t}y(t)=c(n)\lambda \frac{t^{n+1}}{n+1}+cost$
Dividiamo entrambi i membri per $e^{\lambda t}$
$y(t)=c(n)\lambda \frac{t^{n+1}}{n+1}e^{-\lambda t}+cost e^{-\lambda t}$
Abbiamo finito
Namasté!
Risposta di Omega