Dimostrazione per induzione difficile

Salve, dovrei fare una dimostrazione difficile per induzione. Devo dimostrare che la soluzione del seguente sistema:

 

P_{i}\prime(t)=\lambda(P_{i-1}(t)-P_{i}(t)) per i\geq1

P_{0}\prime(t)=-\lambda P_{0}(t)

 

è

P_{n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n!}e^{-\lambda t}

 

P.S= P_{i}\prime(t) sta ad indicare la derivata prima :D

 

Grazie

In Uni - Senza categoria - Domanda di Danilo

Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Carino come esercizio :)

    Puoi procedere così: per n=0 la tesi è verificata, infatti se consideri

    P_0(t)=-\frac{1}{\lambda}P'(t)

    e risolvi l'equazione differenziale ottieni come soluzione

    P_0(t)=e^{-\lambda t}+cost

    prendendo cost=0, ci siamo.

    Passiamo a dimostrare che, supponendo la tesi vera per n, allora ciò implica la validità della tesi per n+1. (Passo induttivo)

    Possiamo scrivere, per n+1

    P'_{n+1}(t)=\lambda \left[P_{n}(t)-P_{n+1}(t)\right]

    dato che nella nostra ipotesi supponiamo la tesi vera per n

    P'_{n+1}(t)=\lambda \left[\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}-P_{n+1}(t)\right]

    che riscriviamo come

    P'_{n+1}(t)=\lambda c(n)t^n e^{-\lambda t}-\lambda P_{n+1}(t)

    Questa è un'equazione differenziale:

    y'(t)=c(n)\lambda t^n e^{-\lambda t}- \lambda y(t)

    Risolvendola, trovi come soluzione

    y(t)=\frac{c(n) \lambda t^{n+1} e^{-\lambda t}}{n+1}+cost\cdot e^{-\lambda t}

    Prendi cost=0, sostituisci l'espressione di c(n), e ci sei.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Potresti farmi vedere come risolvere la differenziale?

    Risposta di Danilo

  • La seconda, suppongo..

    Risposta di Omega

  • Nessun problema :)

    L'equazione differenziale è questa qui

    y'+\lambda y=c(n)\lambda e^{-\lambda t}t^n

    Il fattore e^{-\lambda t} al membro di destra è un po' "rompino". Sbarazziamocene

    e^{\lambda t}y'+\lambda e^{\lambda t}y=c(n)\lambda t^n

    Guardiamo in faccia il primo membro, e vediamo subito che possiamo riscriverlo come

    \frac{d}{dt}\left(e^{\lambda t}y(t)\right)=c(n)\lambda t^n

    Integriamo entrambi i membri

    e^{\lambda t}y(t)=c(n)\lambda \frac{t^{n+1}}{n+1}+cost

    Dividiamo entrambi i membri per e^{\lambda t}

    y(t)=c(n)\lambda \frac{t^{n+1}}{n+1}e^{-\lambda t}+cost e^{-\lambda t}

    Abbiamo finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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