Dimostrazione per induzione difficile

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Salve, dovrei fare una dimostrazione difficile per induzione. Devo dimostrare che la soluzione del seguente sistema:

 

P_(i) prime(t) = λ(P_(i-1)(t)-P_(i)(t)) per i ≥ 1

P_(0) prime(t) = -λ P_(0)(t)

 

è

P_(n)(t) = ((λ t)^(n))/(n!)e^(-λ t)

 

P.S = P_(i) prime(t) sta ad indicare la derivata prima :D

 

Grazie

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Carino come esercizio :)

    Puoi procedere così: per n = 0 la tesi è verificata, infatti se consideri

    P_0(t) = -(1)/(λ)P'(t)

    e risolvi l'equazione differenziale ottieni come soluzione

    P_0(t) = e^(-λ t)+cost

    prendendo cost = 0, ci siamo.

    Passiamo a dimostrare che, supponendo la tesi vera per n, allora ciò implica la validità della tesi per n+1. (Passo induttivo)

    Possiamo scrivere, per n+1

    P'_(n+1)(t) = λ [P_(n)(t)-P_(n+1)(t)]

    dato che nella nostra ipotesi supponiamo la tesi vera per n

    P'_(n+1)(t) = λ [((λ t)^n)/(n!)e^(-λ t)-P_(n+1)(t)]

    che riscriviamo come

    P'_(n+1)(t) = λ c(n)t^n e^(-λ t)-λ P_(n+1)(t)

    Questa è un'equazione differenziale:

    y'(t) = c(n)λ t^n e^(-λ t)-λ y(t)

    Risolvendola, trovi come soluzione

    y(t) = (c(n) λ t^(n+1) e^(-λ t))/(n+1)+cost·e^(-λ t)

    Prendi cost = 0, sostituisci l'espressione di c(n), e ci sei.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Potresti farmi vedere come risolvere la differenziale?

    Risposta di Danilo

  • La seconda, suppongo..

    Risposta di Omega

  • Nessun problema :)

    L'equazione differenziale è questa qui

    y'+λ y = c(n)λ e^(-λ t)t^n

    Il fattore e^(-λ t) al membro di destra è un po' "rompino". Sbarazziamocene

    e^(λ t)y'+λ e^(λ t)y = c(n)λ t^n

    Guardiamo in faccia il primo membro, e vediamo subito che possiamo riscriverlo come

    (d)/(dt)(e^(λ t)y(t)) = c(n)λ t^n

    Integriamo entrambi i membri

    e^(λ t)y(t) = c(n)λ (t^(n+1))/(n+1)+cost

    Dividiamo entrambi i membri per e^(λ t)

    y(t) = c(n)λ (t^(n+1))/(n+1)e^(-λ t)+cost e^(-λ t)

    Abbiamo finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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