Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

    \left(3-\frac{1}{x+2}\right)\left(1+\frac{7x+2}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Proprio perché è fratta, dobbiamo imporre le dovute condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli. I vincoli da imporre affinché l'equazione sia ben posta sono:

    \\ x+2\ne 0 \\ \\ x^2-3x+2\ne 0 \\ \\ 2-x\ne 0 \\ \\ x-1\ne 0

    La prima, la seconda e la quarta relazione sono facilmente risolvibili: basta isolare l'incognita al primo membro.

    \\ x+2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2 \\ \\ 2-x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ -x\ne -2 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2\\ \\ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

    Per quanto concerne la terza condizione, vale a dire

    x^2-3x+2\ne 0

    bisogna osservare che il primo membro è un trinomio notevole e scomponendolo in fattori irriducibili, ricaviamo

    (x-1)(x-2)\ne 0

    Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori che lo compongono, pertanto:

    \\ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1 \\ \\ x-2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2

    In definitiva, l'equazione fratta è ben posta nel momento in cui

    x\ne \pm 2\ \mbox{e}\  x\ne 1

    pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalle condizioni:

    C.E.:\ x\ne -2 \ \wedge \ x\ne 1 \ \wedge \ x\ne 2

    dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

    Ora possiamo iniziare con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale. Svolgiamo le operazioni nelle parentesi tonde

    \left(\frac{3x+6-1}{x+2}\right)\left(\frac{x^2-3x+2+7x+2}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    da cui

    \frac{3x+5}{x+2}\cdot \frac{x^2+4x+4}{x^2-3x+2}=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Con il proposito di semplificare il più possibile le espressioni, scomponiamo x^2+4x+4 riscrivendolo come quadrato di binomio

    x^2+4x+4=(x+2)^2

    mentre x^2-3x+2 è il trinomio notevole di cui abbiamo già scritto la fattorizzazione, pertanto l'equazione diventa

    \frac{3x+5}{x+2}\cdot \frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-2)}=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Semplifichiamo x+2

    (3x+5)\cdot \frac{x+2}{(x-1)(x-2)}=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    e moltiplichiamo le frazioni algebriche al primo membro

    \frac{(3x+5)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Trasportiamo tutti i termini a sinistra

    \frac{(3x+5)(x+2)}{(x-1)(x-2)}-\frac{12}{2-x}-\frac{x+1}{x-1}=0

    e sommiamo le frazioni, calcolando il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

    \frac{(3x+5)(x+2)+12(x-1)-(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=0

    Sotto le condizioni di esistenza, facciamo intervenire il secondo principio di equivalenza per le equazioni, il quale consente di cancellare il denominatore comune e di scrivere l'equazione equivalente

    (3x+5)(x+2)+12(x-1)-(x+1)(x-2)=0

    Adesso, con molta calma, sviluppiamo i vari prodotti

    3x^2+6x+5x+10+12x-12-(x^2-2x+x-2)=0

    e usiamo la regola dei segni per sbarazzarci delle parentesi

    3x^2+6x+5x+10+12x-12-x^2+2x-x+2=0

    Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    2x^2+24x=0

    Grazie a tutti i passaggi algebrici, ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado spuria, che possiamo risolvere raccogliendo il fattore comune 2x

    2x(x+12)=0

    e usando la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale otteniamo due equazioni di primo grado

    2x=0 \ \ \ ; \ \ \ x+12=0

    da cui

    x_1=-12 \ \ \ ; \ \ \ x_2=0

    Purtroppo non abbiamo ancora terminato, ma manca poco: dobbiamo controllare che i valori rispettino i vincoli del C.E..

    Basta un colpo d'occhio per comprendere che sia x_1=-12 sia x_2=0 sono soluzioni accettabili perché rispettano le condizioni di esistenza.

    In conclusione, l'equazione fratta è determinata perché ammette due soluzioni reali e distinte e il suo insieme delle soluzioni è

    S=\left\{-12,0\right\}

    Ora lo svolgimento è completo!

    Risposta di Ifrit
 
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