Procedimento per equazione di secondo grado fratta

Question

Gentilmente potreste spiegarmi come risolvere la seguente equazione fratta di secondo grado? Vorrei capire bene il procedimento e come determinare le condizioni di esistenza. Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado (3-(1)/(x+2))(1+(7x+2)/(x^2-3x+2)) = (12)/(2-x)+(x+1)/(x-1) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il nostro compito consiste nel calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

Proprio perché è fratta, dobbiamo imporre le dovute condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli. I vincoli da imporre affinché l'equazione sia ben posta sono:

x+2 ne 0 ; x^2−3x+2 ne 0 ; 2−x ne 0 ; x−1 ne 0

La prima, la seconda e la quarta relazione sono facilmente risolvibili: basta isolare l'incognita al primo membro.

x+2 ne 0 → x ne−2 ; 2−x ne 0 → −x ne−2 → x ne 2 ; x−1 ne 0 → x ne 1

Per quanto concerne la terza condizione, vale a dire

bisogna osservare che il primo membro è un trinomio notevole e scomponendolo in fattori irriducibili, ricaviamo

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori che lo compongono, pertanto:

x−1 ne 0 → x ne 1 ; x−2 ne 0 → x ne 2

In definitiva, l'equazione fratta è ben posta nel momento in cui

pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalle condizioni:

dove è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Ora possiamo iniziare con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale. Svolgiamo le operazioni nelle parentesi tonde

da cui

Con il proposito di semplificare il più possibile le espressioni, scomponiamo riscrivendolo come quadrato di binomio

mentre è il trinomio notevole di cui abbiamo già scritto la fattorizzazione, pertanto l'equazione diventa

Semplifichiamo

e moltiplichiamo le frazioni algebriche al primo membro

Trasportiamo tutti i termini a sinistra

e sommiamo le frazioni, calcolando il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

Sotto le condizioni di esistenza, facciamo intervenire il secondo principio di equivalenza per le equazioni, il quale consente di cancellare il denominatore comune e di scrivere l'equazione equivalente

Adesso, con molta calma, sviluppiamo i vari prodotti

e usiamo la regola dei segni per sbarazzarci delle parentesi

Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

Grazie a tutti i passaggi algebrici, ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado spuria, che possiamo risolvere raccogliendo il fattore comune

e usando la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale otteniamo due equazioni di primo grado

da cui

Purtroppo non abbiamo ancora terminato, ma manca poco: dobbiamo controllare che i valori rispettino i vincoli del .

Basta un colpo d'occhio per comprendere che sia sia sono soluzioni accettabili perché rispettano le condizioni di esistenza.

In conclusione, l'equazione fratta è determinata perché ammette due soluzioni reali e distinte e il suo insieme delle soluzioni è

Ora lo svolgimento è completo!