Soluzioni
  • Ciao marklycons arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Procediamo: prima di cominciare ti consiglio di dare un'occhiata, prima o dopo, alla lezione sulle equazioni fratte di secondo grado.

    La prima cosa da fare è determinare il campo d'esistenza, imponendo che i denominatori siano diversi da zero:

    x+2\ne 0\iff x\ne -2

    2-x\ne 0\iff x\ne 2

    x-1\ne 0\iff x\ne 1

     

    x^2-3x+2\ne 0

    Osserva che al primo membro abbiamo un trinomio notevole che può essere fattorizzato come:

    x^2-3x+2= (x-1)(x-2)

    Dunque l'equazione si riscrive come:


    (x-1)(x-2)\ne 0\iff (x-1)\ne 0\vee (x-2)\ne 0

    Da cui 

    x\ne 1, x\ne 2

    Il campo di esistenza è quindi:

    CE=x\ne 1, x\ne 2, x\ne -2

    A questo punto sviluppiamo i conti nelle parentesi tonde:

    \left(\frac{3x+6-1}{x+2}\right)\left(\frac{x^2-3x+2+7x+2}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Sommiamo i termini simili:

    \left(\frac{3x+5}{x+2}\right)\left(\frac{x^2+4x+4}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

     

    Ora

    x^2+4x+4= (x+2)^2

     quindi  sostituendo:

    \left(\frac{3x+5}{x+2}\right)\left(\frac{(x+2)^2}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Semplifichiamo:

    \left(3x+5\right)\left(\frac{x+2}{x^2-3x+2}\right)=\frac{12}{2-x}+\frac{x+1}{x-1}

    Moltiplichiamo:

    \frac{(3x+5)(x+2)}{x^2-3x+2}= \frac{-12(x-1)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x-1)}

    Cancelliamo i denominatori:

    (3x+5)(x+2)= -12(x-1)+(x+1)(x-2)

    A questo punto moltiplichiamo:

    3x^2+6x+5x+10= -12x+12+x^2-2x+x-2 

    Sommiamo i termini simili:

    3x^2+11x+10= x^2-13x+10

    Portiamo al primo membro:


    3x^2-x^2+11x+13x+10-10=0

    sommiamo:

    2x^2+24x=0

    è una equazione di secondo grado spuria:

    2x(x+12)=0

    Da cui

    x=0

    e

    x+12=0\implies x=-12

    Sono le soluzioni della equazione, visto che appartengono al campo di esistenza :)

    Risposta di Ifrit
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