Soluzioni
  • Ciao Xavier310,

    la successione, per come è definita, è la successione delle somme parziali della serie geometrica

    g_{n}=\frac{1}{2^n}

    \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{1}{2^n}}

    infatti ad ogni termine a_{n} è stato sommato il precedente. Partendo dal primo indice:

    a_{1}=1

    a_{2}=a_{1}+\frac{1}{2^1}=1+\frac{1}{2}=g_{0}+g_{1}=\frac{3}{2}

    a_{3}=a_{2}+\frac{1}{2^2}=a_{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=g_{0}+g_{1}+g_{2}

    e così via.

    Un sserie geometrica converge se e solo se, per definizione, converge la successione delle somme parziali. Dato che la serie geometrica ha ragione 1/2 (minore di 1) essa converge a

    \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2

    e a questo stesso valore converge la successione delle somme parziali a_{n}.

    La successione è quindi chiaramente limitata e convergente.

    Per trovare il termine n-esimo della successione delle somme parziali, invece, basta ricordare (o sapere) che

    \sum_{n=0}^{N}{g_{n}}=\frac{1-g^{N+1}}{1-\frac{1}{2}}

    e osservare che

    \sum^{N}_{n=0}=a_{N+1}

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Da cosa capisco che è la successione delle somme parziali della serie geometrica?

    g_{n}=frac{1}{2^n}

    Non ho capito come trovare semplicemente a_n.

    Risposta di xavier310
  • Lo capisci guardandola in faccia,  e vedendo che ogni termine contiene la somma dei precedenti.

    a_{n} lo trovi semplicemente così, è il modo più furbo e l'esercizio è di semplice applicazione della definizione di convergenza di una serie con le somme parziali.

    g_{n}=\frac{1}{2^n}

    è semplicemente un nome che ho dato io alla successione con cui poi definisci le somme parziali, che sono gli elementi della tua successione a_{n}.

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi