Punti critici di una funzione a 2 variabili come si determinano?

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Mi spiegate cosa sono i punti critici di una funzione in due variabili e come si studiano? Come se ne stabilisce la natura? Potreste farmi un esempio? Magari su questa funzione:

 

f(x, y) = 2xy-2x^3+3x-9y-3y^2+6

 

Grazie mille!

Domanda di Cimino

 
Soluzioni

  • Ciao Cimino arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Il punto critico di una funzione di due variabili è un punto del dominio per cui il gradiente della funzione si annulla.

    Essi possono essere.

    • Punto di massimo 

    • Punto di minimo

    • Punto di Flesso.

    Per determinarli la prima cosa da fare è calcolare le derivate parziali prime della funzione stessa. Cominciamo:

    f(x, y) = 2xy-2x^3+3x-9y-3y^2+6

    Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x:

    f_x(x,y) = -6x^2+2y+3

    mentre la derivata parziale rispetto ad y è

    f_(y)(x,y) = 2x-6y-9

    Imponiamo il sistema:

    -6x^2+2y+3 = 0 ; 2x-6y-9 = 0

    Procediamo per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y al primo membro:

    y = (2x-9)/(6)

    Sostituiamo nella prima equazione:

    -6x^2+2((2x-9)/(6)+3 = 0) 

    Sommando i termini simili otterremo l'equazione:

    (2x-18x^2)/(3) = 0 ⇔ 2x-18x^2 = 0 

    Otterremo due soluzioni:

    x_1 = 0 a cui viene associato y_1 = -(9)/(6) = -(3)/(2)

    e

    x_2 = (1)/(9) a cui viene associato y_2 = -(79)/(54)

    I punti critici della funzione sono quindi due:

    P_1(0,-(3)/(2))

    P_2((1)/(9),-(79)/(54))

    A questo punto dobbiamo determinare la natura dei punti critici. Un modo (che purtroppo non funziona sempre) semplice è costruire l'Hessiana, la matrice che ha per elementi le derivate parziali del secondo ordine:

    H_(f)(x, y) = [f_(x,x) f_(x, y) ; f_(y, x) f_(y,y)]

    e calcolarne il determinante:

    det(H_f(x, y)) = f_(x,x)f_(y,y)-f^2_(x, y)

    Vediamo come procedere:

    f_(x x)(x, y) = -12x

    f_(y y)(x, y) = -6

    f_(x,y)(x, y) = 2

    La matrice hessiana diventa:

    H_(f)(x, y) = [-12x 2 ; 2 -6]

    Il determinante invece:

    det(H_(f)(x, y)) = 72x-4

    Determiniamo la natura dei punti P_1 , , , e , , , P_2

    • P_1(0,-(3)/(2))

    f_(x x)(P_1) = 0

    mentre

    det(H_(f)(0,-(3)/(2))) = -4 < 0

    Ora il determinante è minore di zero questo vuol dire che il punto considerato è di sella. :)

    • P_2((1)/(9),-(79)/(54))

    f_(x x)(P_2) = -(4)/(3) < 0

    mentre

    det(H_(f)(P_2)) = 72((1)/(9))-4 = 8-4 > 0

    Il determinante è maggiore di zero mentre la derivata parziale del secondo ordine rispetto ad x è minore di zero, questo ci permette di concludere che il punto P_2 è di massimo relativo :)

    C'è uno schema da seguire, lo trovi in questa guida: massimi e minimi in due variabili.

    Risposta di Ifrit
 
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