Punti critici di una funzione a 2 variabili come si determinano?

Mi spiegate cosa sono i punti critici di una funzione in due variabili e come si studiano? Come se ne stabilisce la natura? Potreste farmi un esempio? Magari su questa funzione:

Grazie mille!

In Uni - Analisi - Domanda di Cimino

Soluzioni

Ciao Cimino arrivo :D

Risposta di Ifrit
Il punto critico di una funzione di due variabili è un punto del dominio per cui il gradiente della funzione si annulla.

Essi possono essere.

• Punto di massimo

• Punto di minimo

• Punto di Flesso.

Per determinarli la prima cosa da fare è calcolare le derivate parziali prime della funzione stessa. Cominciamo:

Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x:

mentre la derivata parziale rispetto ad y è

$f_{y}(x,y)=2x-6y-9$

Imponiamo il sistema:

$\begin{cases}-6x^2+2y+3=0\\ 2x-6y-9=0\end{cases}$

Procediamo per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y al primo membro:

$y=\frac{2x-9}{6}$

Sostituiamo nella prima equazione:

$-6x^2+2\left(\frac{2x-9}{6}+3=0\right)$

Sommando i termini simili otterremo l'equazione:

$\frac{2x-18x^2}{3}=0\iff 2x-18x^2=0$

Otterremo due soluzioni:

a cui viene associato $y_1= -\frac{9}{6}= -\frac{3}{2}$

e

$x_2= \frac{1}{9}$ a cui viene associato $y_2= -\frac{79}{54}$

I punti critici della funzione sono quindi due:

$P_1\left(0, -\frac{3}{2}\right)$

$P_2\left(\frac{1}{9},-\frac{79}{54}\right)$

A questo punto dobbiamo determinare la natura dei punti critici. Un modo (che purtroppo non funziona sempre) semplice è costruire l'Hessiana, la matrice che ha per elementi le derivate parziali del secondo ordine:

$H_{f}(x, y)= \begin{pmatrix}f_{x,x}& f_{x, y}\\ f_{y, x}& f_{y,y}\end{pmatrix}$

e calcolarne il determinante:

$\det(H_f(x, y))= f_{x,x}f_{y,y}-f^2_{x, y}$

Vediamo come procedere:

$f_{x x}(x, y)=-12x$

$f_{y y}(x, y)=-6$

$f_{x,y}(x, y)= 2$

La matrice hessiana diventa:

$H_{f}(x, y)= \begin{pmatrix}-12x& 2\\ 2& -6\end{pmatrix}$

Il determinante invece:

$det(H_{f}(x, y))= 72x-4$

Determiniamo la natura dei punti $P_1\,\,\, e\,\,\, P_2$

• $P_1\left(0, -\frac{3}{2}\right)$

$f_{x x}(P_1)= 0$

mentre

$\det(H_{f}\left(0, -\frac{3}{2}\right))= -4<0$

Ora il determinante è minore di zero questo vuol dire che il punto considerato è di sella. :)

• $P_2\left(\frac{1}{9},-\frac{79}{54}\right)$

$f_{x x}(P_2)=-\frac{4}{3}<0$

mentre

$\det(H_{f}(P_2))= 72\left(\frac{1}{9}\right)-4= 8-4>0$

Il determinante è maggiore di zero mentre la derivata parziale del secondo ordine rispetto ad x è minore di zero, questo ci permette di concludere che il punto P_2 è di massimo relativo :)

C'è uno schema da seguire, lo trovi in questa guida: massimi e minimi in due variabili.

Risposta di Ifrit