Ciao Cimino arrivo :D
Il punto critico di una funzione di due variabili è un punto del dominio per cui il gradiente della funzione si annulla.
Essi possono essere.
• Punto di massimo
• Punto di minimo
• Punto di Flesso.
Per determinarli la prima cosa da fare è calcolare le derivate parziali prime della funzione stessa. Cominciamo:
Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x:
mentre la derivata parziale rispetto ad y è
Imponiamo il sistema:
Procediamo per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y al primo membro:
Sostituiamo nella prima equazione:
Sommando i termini simili otterremo l'equazione:
Otterremo due soluzioni:
a cui viene associato
e
a cui viene associato
I punti critici della funzione sono quindi due:
A questo punto dobbiamo determinare la natura dei punti critici. Un modo (che purtroppo non funziona sempre) semplice è costruire l'Hessiana, la matrice che ha per elementi le derivate parziali del secondo ordine:
Vediamo come procedere:
La matrice hessiana diventa:
Il determinante invece:
Determiniamo la natura dei punti
•
mentre
Ora il determinante è minore di zero questo vuol dire che il punto considerato è di sella. :)
•
mentre
Il determinante è maggiore di zero mentre la derivata parziale del secondo ordine rispetto ad x è minore di zero, questo ci permette di concludere che il punto P_2 è di massimo relativo :)
C'è uno schema da seguire, lo trovi in questa guida: massimi e minimi in due variabili.
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