Dimostrare una formula per la densità binomiale

Scusate il disturbo, il professore lavorando con una distribuzione binomiale e nel fare i conti ha tirato in ballo la seguente formula:

Σ_(k = 1)^(∞)p(1-p)^(k-1) = 1

Perché? Potresti aiutarmi a capire mostrandomi la dimostrazione?

Domanda di Danilo

Soluzioni

Ciao Danilo arrivo :D

Risposta di Ifrit

Abbiamo:

Σ_(k = 1)^(∞)p(1-p)^(k-1)

Poiché p non dipende dall'indice di sommatoria allora possiamo farlo uscire p dalla serie

pΣ_(k = 1)^(∞)(1-p)^(k-1)

trasliamo gli indici:

pΣ_(m = 0)^(∞)(1-p)^(m)

Ora ricordiamo che:

Σ_(m = 0)^(∞)t^m = (1)/(1-t)

(serie geometrica di ragione t, che converge per |t|<1)

per

la precedente diventa

Σ_(m = 0)^(∞)(1-p)^m = (1)/(1-(1-p)) = (1)/(p)

da ciò:

pΣ_(k = 1)^(∞)(1-p)^(k-1) ((1)/(p)) = (p)/(p) = 1

Se ci sono domande sono qui :D

Risposta di Ifrit

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