Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Scusate l errore di battitura...avevo dimenticato di elevare la parentesi

     

    ...=\frac{1}{k!}(np)^{k}\left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k}e^{-k}=...

    Risposta di Danilo
  • Al terzo passaggio mi pare tu abbia dimenticato un esponente n-k relativo alla parentesi:

    \left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k}

    mi sbaglio?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Esatto...te ne sei accorto prima di me :D

    Risposta di Danilo
  • Laughing Sì, è che essendo in fase di risposta non avevo modo di vedere la tua replica.

    Comunque, nel primo passaggio si sfrutta l'equivalenza asintotica

    n!\sim_{n\to +\infty} \left(\frac{n}{e}\right)^{n}

    per cui dopo aver utilizzato la definizione di binomiale

    \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}

    si sostituisce

    n!\sim_{n\to +\infty} \left(\frac{n}{e}\right)^{n}

    e

    (n-k)!\sim_{n\to +\infty} \left(\frac{n-k}{e}\right)^{n-k}

    Poi si semplifica un po' l'espressione

    \frac{\frac{n^n}{e^n}}{\frac{(n-k)^{n-k}}{e^{n-k}}k!}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{e^{-k}p^k}{k!}\frac{n^n}{((n-k)^{n-k})}(1-p)^{n-k}=

    e^{-k}\frac{n^{k}p^k}{k!}\frac{n^{n-k}}{((n-k)^{n-k})}(1-p)^{n-k}=

    e^{-k}\frac{n^{k}p^k}{k!}\left(\frac{n^{n-k}(1-p)^{n-k}}{(n-k)^{n-k}}\right)^{n-k}=

    Al quarto passaggio si usa il fatto che

    np\to_{n\to +\infty} \alpha

    quindi

    (np)^k\to_{n\to +\infty} \alpha^k

    Infine, basta osservare che

    \left(1+\frac{k-\alpha}{n-k}\right)^{n-k}=\left(1+\frac{1}{\frac{n-k}{k-\alpha}}\right)^{n-k}=

    \left(1+\frac{1}{\frac{n-k}{k-\alpha}}\right)^{\frac{n-k}{k-\alpha}(k-\alpha)}=

    e si applica il limite notevole del numero di Nepero: la precedente successione tende a e^{k-\alpha}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Scusami ma come viene fuori questa?

    (n-k)!\sim_{n\to +\infty} \left(\frac{n-k}{e}\right)^{n-k}

    Risposta di Danilo
  • Chiama m:=n-k, per cui se n\to +\infty risulta che m\to +\infty, quindi

    m!\sim \left(\frac{m}{e}\right)^{m}

    e risostituisci m=n-k.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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