Dimostrare che la binomiale tende alla poissoniana

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Buongiorno, non ho capito la dimostrazione del fatto che la binomiale tende alla poissoniana, è tratta dal libro...se per cortesia potreste spiegarmi i passaggi che non ci arrivo proprio...grazie!

Dobbiamo dimostrare che la binomiale tende alla poissoniana quando n arrow ∞ , parrow 0, np = α.
Utilizzando l'approssimazione di Stirling n! ≃ ((n)/(e))^(n) e si ottiene: (qui cominciano i problemi :D)

 

(n ; k)p^(k)(1-p)^(n-k) ≃ (n^(n))/(k!(n-k)^(n-k))e^(-k)p^(k)(1-p)^(n-k) = (1)/(k!)(np)^(k)((n(1-p))/(n-k))^(n-k)e^(-k) = (α^(k))/(k!)e^(-k)(1+(k-α)/(n-k))^(n-k)

 

Tutto questo per n arrow ∞ vale (α^(k))/(k!)e^(-α)

 

Grazie!

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Scusate l errore di battitura...avevo dimenticato di elevare la parentesi

     

    ... = (1)/(k!)(np)^(k)((n(1-p))/(n-k))^(n-k)e^(-k) = ...

    Risposta di Danilo

  • Al terzo passaggio mi pare tu abbia dimenticato un esponente n-k relativo alla parentesi:

    ((n(1-p))/(n-k))^(n-k)

    mi sbaglio?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Esatto...te ne sei accorto prima di me :D

    Risposta di Danilo

  • Laughing Sì, è che essendo in fase di risposta non avevo modo di vedere la tua replica.

    Comunque, nel primo passaggio si sfrutta l'equivalenza asintotica

    n! ~ _(n → +∞) ((n)/(e))^(n)

    per cui dopo aver utilizzato la definizione di binomiale

    binom(n)(k) = (n!)/((n-k)!k!)

    si sostituisce

    n! ~ _(n → +∞) ((n)/(e))^(n)

    e

    (n-k)! ~ _(n → +∞) ((n-k)/(e))^(n-k)

    Poi si semplifica un po' l'espressione

    ((n^n)/(e^n))/(((n-k)^(n-k))/(e^(n-k))k!)p^k(1-p)^(n-k) = (e^(-k)p^k)/(k!)(n^n)/(((n-k)^(n-k)))(1-p)^(n-k) =

    e^(-k)(n^(k)p^k)/(k!)(n^(n-k))/(((n-k)^(n-k)))(1-p)^(n-k) =

    e^(-k)(n^(k)p^k)/(k!)((n^(n-k)(1-p)^(n-k))/((n-k)^(n-k)))^(n-k) =

    Al quarto passaggio si usa il fatto che

    np → _(n → +∞) α

    quindi

    (np)^k → _(n → +∞) α^k

    Infine, basta osservare che

    (1+(k-α)/(n-k))^(n-k) = (1+(1)/((n-k)/(k-α)))^(n-k) =

    (1+(1)/((n-k)/(k-α)))^((n-k)/(k-α)(k-α)) =

    e si applica il limite notevole del numero di Nepero: la precedente successione tende a e^(k-α)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Scusami ma come viene fuori questa?

    (n-k)! ~ _(n → +∞) ((n-k)/(e))^(n-k)

    Risposta di Danilo

  • Chiama m: = n-k, per cui se n → +∞ risulta che m → +∞, quindi

    m! ~ ((m)/(e))^(m)

    e risostituisci m = n-k.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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