Scrivere l'equazione della parabola dalla retta tangente

Ciao a tutti non riesco a fare neanche questo esercizio sulla parabola, devo scrivere l'equazione conoscendo una retta tangente...

Scrivere l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c tangente nell'origine alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante e passante per il punto (-4;-3).

Io avevo pensato che visto che passa per l'origine l'equazione è y=ax^2+bx e metterla a sistema con y=x, però non mi trovo con il risultato. Grazie ! :)

In Superiori - Geometria - Domanda di Mindy

Soluzioni

Ok, abbiamo la parabola:

Sappiamo che passa per il punto imponendo la condizione di passaggio abbiamo che:

quindi l'equazione della parabola si riduce a:

A questo punto imponiamo il passaggio all'altro punto, cioè (-4, -3):

Da cui

Isoliamo b:

$-4b=-3-16a\iff 4b= 3+16a \iff b= \frac{3+16a}{4}$

Sostituiamo nella equazione:

$y= ax^2+\frac{3+16a}{4}x$

Quello che ci rimane da determinare è il parametro a e per farlo dobbiamo impostare il sistema e la condizione di tangenza retta-parabola:

$\begin{cases}y= a x^2+\frac{3+16a}{4}x\\y=x \end{cases}$

L'equazione di secondo grado risolvente è:

$x= ax^2+\frac{3+16a}{4}x$

Scriviamo l'equazione in forma normale:

$ax^2+\left(\frac{3+16a}{4}-1\right)x=0$

Calcoliamo il discriminante associato:

$\Delta = \left(\frac{3+16a-4}{4}\right)^2= \frac{(16a-1)^2}{16}$

Imponiamo la condizione di tangenza:

$\Delta= 0\iff \frac{(16a-1)^2}{16}=0$

Da cui

$(16a-1)^2=0\iff 16a-1= 0\iff a= \frac{1}{16}$

Determiniamo b

$b= \frac{3+16a}{4}= \frac{3+1}{4}=1$

Quindi l'equazione è:

$y= \frac{1}{16}x^2+x$

Risposta di Ifrit
Grazie mille! Ma perché non hai elevato al quadrato

$\Delta= 0\iff \frac{(16a-1)^2}{16}=0$

nel senso, perché poi hai fatto

$(16a-1)^2=0\iff 16a-1= 0\iff a= \frac{1}{16}\ ?$

Risposta di Mindy
Il discriminante associato è:

$\Delta= \left(\frac{3+16a-4}{4}\right)^2$

Poi ho fatto i conti:

$\Delta= \left(\frac{16a-1}{4}\right)^2$

A questo punto ho utilizzato le proprietà delle potenze:

$\Delta= \left(\frac{16a-1}{4}\right)^2= \frac{(16a-1)^2}{4^2}= \frac{(16a-1)^2}{16}$

Ho imposto la condizione di tangenza:

$\Delta=0\iff \frac{(16a-1)^2}{16}=0$

ottenendo l'equazione:

$\frac{(16a-1)^2}{16}=0$

il denominatore non serve più:

A questo punto si aprono due strade, o sviluppi il quadrato e risolvi l'equazione di secondo grado completa, oppure ti fai furba ;)

Ricordando che:

$(16a-1)^2=0\iff 16a-1=0\iff a= \frac{1}{16}$

Secondo me è la strada migliore da percorrere :D

Risposta di Ifrit
grazie :D

Risposta di Mindy