Scrivere l'equazione della parabola dalla retta tangente

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Ciao a tutti non riesco a fare neanche questo esercizio sulla parabola, devo scrivere l'equazione conoscendo una retta tangente...

Scrivere l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c tangente nell'origine alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante e passante per il punto (-4;-3).

 

Io avevo pensato che visto che passa per l'origine l'equazione è y=ax^2+bx e metterla a sistema con y=x, però non mi trovo con il risultato. Grazie ! :)

Domanda di Mindy

 
Soluzioni

  • Ok, abbiamo la parabola:

    y = ax^2+bx+c

    Sappiamo che passa per il punto (0, 0) imponendo la condizione di passaggio abbiamo che:

    c = 0

    quindi l'equazione della parabola si riduce a:

    y = a x^2+bx

    A questo punto imponiamo il passaggio all'altro punto, cioè (-4, -3):

    -3 = a(-4)^2+b(-4)

    Da cui

    -3 = 16a-4b

    Isoliamo b:

    -4b = -3-16a ⇔ 4b = 3+16a ⇔ b = (3+16a)/(4)

    Sostituiamo nella equazione:

    y = ax^2+(3+16a)/(4)x

    Quello che ci rimane da determinare è il parametro a e per farlo dobbiamo impostare il sistema e la condizione di tangenza retta-parabola:

    y = a x^2+(3+16a)/(4)x ; y = x

    L'equazione di secondo grado risolvente è:

    x = ax^2+(3+16a)/(4)x

    Scriviamo l'equazione in forma normale:

    ax^2+((3+16a)/(4)-1)x = 0

    Calcoliamo il discriminante associato:

    Δ = ((3+16a-4)/(4))^2 = ((16a-1)^2)/(16)

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    Δ = 0 ⇔ ((16a-1)^2)/(16) = 0

    Da cui

    (16a-1)^2 = 0 ⇔ 16a-1 = 0 ⇔ a = (1)/(16)

    Determiniamo b

    b = (3+16a)/(4) = (3+1)/(4) = 1

    Quindi l'equazione è:

    y = (1)/(16)x^2+x

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille! Ma perché non hai elevato al quadrato

    Δ = 0 ⇔ ((16a-1)^2)/(16) = 0

    nel senso, perché poi hai fatto

    (16a-1)^2 = 0 ⇔ 16a-1 = 0 ⇔ a = (1)/(16) ?

    Risposta di Mindy

  • Il discriminante associato è:

    Δ = ((3+16a-4)/(4))^2

    Poi ho fatto i conti:

    Δ = ((16a-1)/(4))^2

    A questo punto ho utilizzato le proprietà delle potenze:

    Δ = ((16a-1)/(4))^2 = ((16a-1)^2)/(4^2) = ((16a-1)^2)/(16)

    Ho imposto la condizione di tangenza:

    Δ = 0 ⇔ ((16a-1)^2)/(16) = 0

    ottenendo l'equazione:

    ((16a-1)^2)/(16) = 0

    il denominatore non serve più:

    (16a-1)^2 = 0

    A questo punto si aprono due strade, o sviluppi il quadrato e risolvi l'equazione di secondo grado completa, oppure ti fai furba ;)

    Ricordando che:

    (16a-1)^2 = 0 ⇔ 16a-1 = 0 ⇔ a = (1)/(16)

    Secondo me è la strada migliore da percorrere :D

    Risposta di Ifrit

  • grazie :D

    Risposta di Mindy
 
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