Esercizio sul volume di un solido compreso tra due superfici - integrale doppio e coordinate polari
ciao ragazzi, nei giorni precedenti vi ho chiesto delle spiegazioni sul calcolo del volume nei casi in cui mi trovo equazioni del tipo
z= x^2+y^2
z= ... altro (ed ho tutto chiaro)
il mio problema ora è che ho trovato delle tipologie come ad esempio:
z^2=x^2 + 9y^2
x^2+z^2+9y^2=8
con z
come si risolve? sostituisco la z^2 nell'equazione e poi...?integrale doppio con gli estremi d'integrazione (0-8) e (0-2∏?) cosa implica la z
----- o anche
z=2-4x^2-9y^2
z^2=4x^2+9y^2
qui, porto sotto radice 4x^2 + 9y^2 per poi sostituire la z senza potenza nella prima? e poi sempre il solito ragionamento delle coordinate polari?
----
z=x^2+y^2+2
x^2+y^2=4
con z=0
qui invece non ho idea di come partire...! :(
ps: siccome penso siano delle domande che più o meno avranno la stessa risposta non ho fatto 3 domande separate...se però devo, lo faccio! 
grazie!
francesca
Ciao Francesca, va benissimo un'unica domanda, perchè stiamo parlando di metodo! 
Nel primo caso hai detto bene. Forse ti confonde quello z<0, ma è un'indicazione che ti dice semplicemente: "devi calcolare mezzo volume". Quindi gli estremi di integrazione saranno
![[0,2√(2)]](/images/joomlatex/c/a/ca0853b26896eb8eb61d6b2689b3aa7c.gif)
(occhio che devi prendere il raggio e non il suo quadrato!)
e
![[π,2π]](data:image/gif;base64,R0lGODlhLgATAIQAAP///wAAANDQ0EBAQKCgoMDAwICAgGBgYODg4PDw8HBwcLCwsFBQUJCQkDAwMCAgIBAQEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAuABMAAAXVoDAMBGCeaKqu7KmMhdHOdA0MsT03hsIIulsuqGokTIUA0IaTEVODxQly0DWfKQjj5BhYh4DEYUQeKGaIoylwDo/L5tPVvSgc7IUCQkeAHMV1d3d6ckMLRwtSbToJDkuHAIkAi4VOJwdHXkEKSyiYNypzJglbCJo2BJ0npACmoWAAPAAFDjoCnZaytK+WAA8FswF7JwIMasQGeQULlr/Bw5XEtSYQqgsQUigOAdzc2QLTANVQsDXAWCuiNQmq6NE65+7kd9AtCcfyAAK0CAbJ+U8I+AsBADs=){kind=small}
.
Nel secondo, ok!
Per il terzo, la prima equazione non è una sfera bensi un paraboloide di vertice (0,0,2) rivolto verso l'alto, la seconda e la terza equazione definiscono il cerchio di raggio 2 e centro (0,0) nel piano X,Y (quota z=0). Qui il volume lo puoi calcolare integrando la parabola vista nel piano X,Z, ad esempio e poi considerando l'intera rotazione di 
attorno all'asse z, ad esempio.
Devi solamente fare attenzione agli estremi di integrazione. Guardando la parabola nel piano X,Z (e come se stessi guardando la sezione) dovrai integrare tra [0,4] in dx e tra
![[0,x^2+2]](/images/joomlatex/d/5/d59e6a510478b3201983700f13bbbeab.gif)
in dz.
(un disegno potrebbe aiutarti moltissimo nel ragionamento!)
Moltiplichi tutto per , e ci sei.
Fammi sapere se ci sono problemi.
Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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