Soluzioni
  • Ciao Lampard arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione di due variabili:

    f(x, y)= \begin{cases}x+ye^y &\mbox{ se }x^2<|y|\\ x^2+\ln(1+\arctan(y^2))&\mbox{ se }x^2\ge |y|\end{cases}

     

    Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad x e a y:

    f_x(x, y)= \begin{cases}1&\mbox{ se }x^2<|y|\\ 2x&\mbox{ se }x^2>|y|\end{cases}

    mentre è un po' più delicato il calcolo della derivata parziare rispetto ad y:

    Per x^2<|y| abbiamo che:

    f_y(x, y)= D_y[x+ye^y]= D_y[x]+D_y[ye^y]= D[y]e^y+y D[e^y]= e^y+ye^y=

    e^y(1+y)

     

    mentre per x^2>|y| :

    f_y(x, y)= D_y[x^2+\ln(1+\arctan(y^2))]=D_y[x^2]+D_y[\ln(1+\arctan(y^2))]=

    =  \frac{1}{1+\arctan(y^2)}\cdot D_y[\arctan(y^2)]=\frac{2y}{(1+\arctan(y^2)) (1+y^4)}

     

    Dunque:

    f_y(x, y)= \begin{cases}e^y(1+y)&\mbox{ se }x^2<|y|\\ \frac{2y}{(1+\arctan(y^2))(1+y^4)}&\mbox{ se }x^2>|y|\end{cases}

     

    Risposta di Ifrit
  • ok,

    se le calcolo in un intorno del punto (0,0)

    mi accorgo ke nn sono continue e quindi posso affermare che la derivata parziale rispetto a (0,0) nn esiste

    giusto?

     

    Risposta di lampard
  • Aspetta lampard non capisco, dobbiamo calcolare le derivate parziali in (0, 0)? Fammi sapere :D

    Risposta di Ifrit
  • tu hai calcolato quelle generiche, per trovare quelle nel punto 0,0 nn basta sostituirle ai risultati

    in fx esempio una è uguale a 1 per ogni x l'altra se x=0 risulta 2x0=0

    quindi essendo diverse la derivata parziale non esiste

    mi sbaglio?

    Risposta di lampard
  • Ti sbagli, ma perché non l'hai detto subito che dovevamo calcolare le derivate parziali nel punto (0, 0)? :(

    Aspetta che comincio :P :P :P

    Risposta di Ifrit
  • ti lascio fare il calcolo

     

     

    Risposta di lampard
  • Calcoliamo le derivate parziali in (0, 0) con la definizione:

    f_x(0,0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}

    Iniziamo con il calcolo di f(0,0):

    f(0, 0)=0

    ora osserviamo che:

    h^2\ge 0

    si ha che:

    f(h, 0)= h^2+\ln(1+\arctan(0))= h^2

    Dunque:

    f_x(0, 0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h, 0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{h^2}{h}= 0

    Ora consideriamo la derivata parziale rispetto ad y:

    f_y(0,0)= \lim_{k\to 0}\frac{f(0, k)-f(0, 0)}{k}

    ora:

    k^2>0

    quindi:

    f(0, k)= 0+k e^k= ke^k

    Dunque il limite si riduce a:

    f_y(0,0)= \lim_{k\to 0}\frac{f(0, k)-f(0, 0)}{k}= \lim_{k\to 0}\frac{k e^k}{k}=

    = \lim_{k\to 0}e^k= 1

    Se hai domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit
  • ti ringrazio per ora prendo questo per buono, se avrò ancora qualche dubbio mi farò vivo grazie buona serata

     

     

    Risposta di lampard
 
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