Derivate parziali di una funzione definita per condizioni

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Ciao potete spiegarmi il calcolo delle derivate parziali di una funzione a due variabili definita da varie parti mediante condizioni? Devo cercare le derivate parziali di

 

f(x, y) = x+ye^y se x^2 < |y| ; x^2+ln(1+arctan(y^2)) se x^2 ≥ |y|

Domanda di lampard

 
Soluzioni

  • Ciao Lampard arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione di due variabili:

    f(x, y) = x+ye^y se x^2 < |y| ; x^2+ln(1+arctan(y^2)) se x^2 ≥ |y|

     

    Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad x e a y:

    f_x(x, y) = 1 se x^2 < |y| ; 2x se x^2 > |y|

    mentre è un po' più delicato il calcolo della derivata parziare rispetto ad y:

    Per x^2<|y| abbiamo che:

    f_y(x, y) = D_y[x+ye^y] = D_y[x]+D_y[ye^y] = D[y]e^y+y D[e^y] = e^y+ye^y =

    e^y(1+y)

     

    mentre per x^2>|y| :

    f_y(x, y) = D_y[x^2+ln(1+arctan(y^2))] = D_y[x^2]+D_y[ln(1+arctan(y^2))] =

    = (1)/(1+arctan(y^2))·D_y[arctan(y^2)] = (2y)/((1+arctan(y^2)) (1+y^4))

     

    Dunque:

    f_y(x, y) = e^y(1+y) se x^2 < |y| ; (2y)/((1+arctan(y^2))(1+y^4)) se x^2 > |y|

     

    Risposta di Ifrit

  • ok,

    se le calcolo in un intorno del punto (0,0)

    mi accorgo ke nn sono continue e quindi posso affermare che la derivata parziale rispetto a (0,0) nn esiste

    giusto?

     

    Risposta di lampard

  • Aspetta lampard non capisco, dobbiamo calcolare le derivate parziali in (0, 0)? Fammi sapere :D

    Risposta di Ifrit

  • tu hai calcolato quelle generiche, per trovare quelle nel punto 0,0 nn basta sostituirle ai risultati

    in fx esempio una è uguale a 1 per ogni x l'altra se x=0 risulta 2x0=0

    quindi essendo diverse la derivata parziale non esiste

    mi sbaglio?

    Risposta di lampard

  • Ti sbagli, ma perché non l'hai detto subito che dovevamo calcolare le derivate parziali nel punto (0, 0)? :(

    Aspetta che comincio :P :P :P

    Risposta di Ifrit

  • ti lascio fare il calcolo

     

     

    Risposta di lampard

  • Calcoliamo le derivate parziali in (0, 0) con la definizione:

    f_x(0,0) = lim_(h → 0)(f(0+h, 0)-f(0, 0))/(h)

    Iniziamo con il calcolo di f(0,0):

    f(0, 0) = 0

    ora osserviamo che:

    h^2 ≥ 0

    si ha che:

    f(h, 0) = h^2+ln(1+arctan(0)) = h^2

    Dunque:

    f_x(0, 0) = lim_(h → 0)(f(h, 0)-f(0,0))/(h) = lim_(h → 0)(h^2)/(h) = 0

    Ora consideriamo la derivata parziale rispetto ad y:

    f_y(0,0) = lim_(k → 0)(f(0, k)-f(0, 0))/(k)

    ora:

    k^2 > 0

    quindi:

    f(0, k) = 0+k e^k = ke^k

    Dunque il limite si riduce a:

    f_y(0,0) = lim_(k → 0)(f(0, k)-f(0, 0))/(k) = lim_(k → 0)(k e^k)/(k) =

    = lim_(k → 0)e^k = 1

    Se hai domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit

  • ti ringrazio per ora prendo questo per buono, se avrò ancora qualche dubbio mi farò vivo grazie buona serata

     

     

    Risposta di lampard
 
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