Problema col risultato di un limite notevole

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Ciao cari!

Il mio problema di oggi: non mi trovo col risultato di un limite con i limiti notevoli

lim_(x → 0)(1-5^(x))/(1-3^(x))

A me viene ln(5)/ln(3) e invece il risultato è: log in base 3 di (5)... cosa sbaglio???

Domanda di diabolik

 
Soluzioni

  • Ciao diabolik arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo il limite:

    lim_(x → 0)(1-5^x)/(1-3^x)

    Dobbiamo ricondurci al limite notevole (clicca qui per l'elenco dei limiti notevoli):

    lim_(x → 0)(a^x-1)/(x) = ln(a)

    Ora vediamo cosa succede:

    lim_(x → 0)(1-5^x)/(1-3^x)

    Cambiamo i segni sia al numeratore che al denominatore:

    lim_(x → 0)(-(5^x-1))/(-(3^x-1))

    Semplifichiamo il segno:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(3^x-1)

    Moltiplichiamo e dividiamo per x:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x) (x)/(3^x-1) =

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x)·lim_(x → 0)(x)/(3^x-1) =

    Ora

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x) = ln(5)

    mentre

    lim_(x → 0)(x)/(3^x-1) = (1)/(ln(3))

    Di consegueza:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x) (= ln(5))·lim_(x → 0)(x)/(3^x-1) ((1)/(ln(3))) = (ln(5))/(ln(3)) 

    e dopo aver scritto questa pappardella mi sono accorto che hai trovato come soluzione:

    log_3(5)

    ma per le proprietà dei logaritmi:

    log_3(5) = (ln(5))/(ln(3))

    questo è dovuto alle proprietà sul cambio di base dei logaritmi... In definitiva il tuo risultato è corretto!! :D

    Risposta di Ifrit

  • mi sento inutile! vado a ripassare le proprietà dei logaritmi!!! grazie dalla risposta così celere :)

    Risposta di diabolik
 
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