Soluzioni
  • Ciao diabolik arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo il limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-5^x}{1-3^x}

    Dobbiamo ricondurci al limite notevole (clicca qui per l'elenco dei limiti notevoli):

    \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}= \ln(a)

    Ora vediamo cosa succede:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-5^x}{1-3^x}

    Cambiamo i segni sia al numeratore che al denominatore:

    \lim_{x\to 0}\frac{-(5^x-1)}{-(3^x-1)}

    Semplifichiamo il segno:

    \lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{3^x-1}

    Moltiplichiamo e dividiamo per x:

    \lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{x} \frac{x}{3^x-1}=

    \lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x}{3^x-1}=

    Ora

    \lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{x}= \ln(5)

    mentre

    \lim_{x\to 0}\frac{x}{3^x-1}= \frac{1}{\ln(3)}

    Di consegueza:

    \overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{x}}^{= \ln(5)}\cdot \overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{x}{3^x-1}}^{\frac{1}{\ln(3)}}=\frac{\ln(5)}{\ln(3)} 

    e dopo aver scritto questa pappardella mi sono accorto che hai trovato come soluzione:

    \log_3(5)

    ma per le proprietà dei logaritmi:

    \log_3(5)= \frac{\ln(5)}{\ln(3)}

    questo è dovuto alle proprietà sul cambio di base dei logaritmi... In definitiva il tuo risultato è corretto!! :D

    Risposta di Ifrit
  • mi sento inutile! vado a ripassare le proprietà dei logaritmi!!! grazie dalla risposta così celere :)

    Risposta di diabolik
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