Risolvere un'espressione con le frazioni algebriche

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Devo risolvere un'espressione con le frazioni algebriche e non ho idea di come fare! Nell'espressione compare una divisione che non sono in grado di gestire come si deve, tra l'altro non so come scomporre i denominatori e quindi non sono capace di svolgere le operazioni. Potreste aiutarmi?

 

Semplificare, ove definita, la seguente espressione con le frazioni algebriche.

 

(1-(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a-b)-(1-9a^2)/(b^2-9a^2)+(3a)/(3a+b))

 

Grazie.

Domanda di ms97

 
Soluzioni

  • Il primo passaggio per semplificare l'espressione con frazioni algebriche

    (1-(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a-b)-(1-9a^2)/(b^2-9a^2)+(3a)/(3a+b)) = (•)

    consiste nella scomposizione dei polinomi che vi compaiono. In realtà, ci sono solo due polinomi che possono essere fattorizzati e sono:

    b^2-9a^2 e 1-9a^2

    Entrambi sono infatti differenze di quadrati e in quanto tali possono essere scomposti come segue:

    b^2-9a^2 = (b-3a)(b+3a) ; e ; 1-9a^2 = (1-3a)(1+3a)

    Attenzione! Noi siamo interessati esclusivamente alla scomposizione di b^2-9a^2 perché ci tornerà utile per esprimere le frazioni algebriche a denominatore comune.

    Rimpiazziamo quindi b^2-9a^2 con la propria scomposizione

    (•) = (1-(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a-b)-(1-9a^2)/((b-3a)(b+3a))+(3a)/(3a+b)) =

    dopodiché semplifichiamo le frazioni algebriche nella prima coppia di parentesi tonde: in particolare, semplifichiamo 3a e 3a^2 tra loro.

    = (1-(b)/(a)+(b)/(a)):((b)/(3a-b)-(1-9a^2)/((b-3a)(b+3a))+(3a)/(3a+b)) =

    Per poter sommare le frazioni algebriche tra loro, è necessario esprimerle a denominatore comune. Nella prima coppia di parentesi, il denominatore comune è a, mentre quello della seconda coppia è (b-3a)(b+3a)

    = ((a-b+b)/(a)):((-(b+3a)b-(1-9a^2)+3a(b-3a))/((b-3a)(b+3a))) =

    A questo punto bisogna sommare i monomi simili al numeratore della prima frazione ed eseguire i prodotti nella seconda

    = ((a)/(a)):((-b^2-3ab-1+9a^2+3ab-9a^2)/((b-3a)(b+3a))) =

    Portiamo a termini i calcoli nella seconda coppia di parentesi tonde e semplifichiamo le a nella prima:

    = 1:((-b^2-1)/((b-3a)(b+3a))) =

    Trasformiamo la divisione nel prodotto tra il dividendo per il reciproco della frazione divisore e scriviamo il risultato.

    = 1·((b-3a)(b+3a))/(-b^2-1) = -((b-3a)(b+3a))/(b^2+1)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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