Risolvere un'espressione con le frazioni algebriche

Question

Devo risolvere un'espressione con le frazioni algebriche e non ho idea di come fare! Nell'espressione compare una divisione che non sono in grado di gestire come si deve, tra l'altro non so come scomporre i denominatori e quindi non sono capace di svolgere le operazioni. Potreste aiutarmi? Semplificare, ove definita, la seguente espressione con le frazioni algebriche. (1−(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a−b)−(1−9a^2)/(b^2−9a^2)+(3a)/(3a+b)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il primo passaggio per semplificare l'espressione con frazioni algebriche (1−(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a−b)−(1−9a^2)/(b^2−9a^2)+(3a)/(3a+b)) = (•) consiste nella scomposizione dei polinomi che vi compaiono. In realtà, ci sono solo due polinomi che possono essere fattorizzati e sono: b^2−9a^2 e 1−9a^2 Entrambi sono infatti differenze di quadrati e in quanto tali possono essere scomposti come segue: ; b^2−9a^2 = (b−3a)(b+3a) ; e ; 1−9a^2 = (1−3a)(1+3a) Attenzione! Noi siamo interessati esclusivamente alla scomposizione di b^2−9a^2 perché ci tornerà utile per esprimere le frazioni algebriche a denominatore comune. Rimpiazziamo quindi b^2−9a^2 con la propria scomposizione (•) = (1−(3ab)/(3a^2)+(b)/(a)):((b)/(3a−b)−(1−9a^2)/((b−3a)(b+3a))+(3a)/(3a+b)) = dopodiché semplifichiamo le frazioni algebriche nella prima coppia di parentesi tonde: in particolare, semplifichiamo 3a e 3a^2 tra loro. = (1−(b)/(a)+(b)/(a)):((b)/(3a−b)−(1−9a^2)/((b−3a)(b+3a))+(3a)/(3a+b)) = Per poter sommare le frazioni algebriche tra loro, è necessario esprimerle a denominatore comune. Nella prima coppia di parentesi, il denominatore comune è a, mentre quello della seconda coppia è (b−3a)(b+3a) = ((a−b+b)/(a)):((−(b+3a)b−(1−9a^2)+3a(b−3a))/((b−3a)(b+3a))) = A questo punto bisogna sommare i monomi simili al numeratore della prima frazione ed eseguire i prodotti nella seconda = ((a)/(a)):((−b^2−3ab−1+9a^2+3ab−9a^2)/((b−3a)(b+3a))) = Portiamo a termini i calcoli nella seconda coppia di parentesi tonde e semplifichiamo le a nella prima: = 1:((−b^2−1)/((b−3a)(b+3a))) = Trasformiamo la divisione nel prodotto tra il dividendo per il reciproco della frazione divisore e scriviamo il risultato. = 1·((b−3a)(b+3a))/(−b^2−1) = −((b−3a)(b+3a))/(b^2+1) Ecco fatto!