Soluzioni
  • Il primo passaggio per semplificare l'espressione con frazioni algebriche

    \left(1-\frac{3ab}{3a^2}+\frac{b}{a}\right):\left(\frac{b}{3a-b}-\frac{1-9a^2}{b^2-9a^2}+\frac{3a}{3a+b}\right)=(\bullet)

    consiste nella scomposizione dei polinomi che vi compaiono. In realtà, ci sono solo due polinomi che possono essere fattorizzati e sono:

    b^2-9a^2\ \ \ \mbox{e} \ \ \ 1-9a^2

    Entrambi sono infatti differenze di quadrati e in quanto tali possono essere scomposti come segue:

    \\ b^2-9a^2=(b-3a)(b+3a) \\ \\ \mbox{e} \\ \\ 1-9a^2= (1-3a)(1+3a)

    Attenzione! Noi siamo interessati esclusivamente alla scomposizione di b^2-9a^2 perché ci tornerà utile per esprimere le frazioni algebriche a denominatore comune.

    Rimpiazziamo quindi b^2-9a^2 con la propria scomposizione

    (\bullet)=\left(1-\frac{3ab}{3a^2}+\frac{b}{a}\right):\left(\frac{b}{3a-b}-\frac{1-9a^2}{(b-3a)(b+3a)}+\frac{3a}{3a+b}\right)=

    dopodiché semplifichiamo le frazioni algebriche nella prima coppia di parentesi tonde: in particolare, semplifichiamo 3a\ \mbox{e} \ 3a^2 tra loro.

    =\left(1-\frac{b}{a}+\frac{b}{a}\right):\left(\frac{b}{3a-b}-\frac{1-9a^2}{(b-3a)(b+3a)}+\frac{3a}{3a+b}\right)=

    Per poter sommare le frazioni algebriche tra loro, è necessario esprimerle a denominatore comune. Nella prima coppia di parentesi, il denominatore comune è a, mentre quello della seconda coppia è (b-3a)(b+3a)

    =\left(\frac{a-b+b}{a}\right):\left(\frac{-(b+3a)b-(1-9a^2)+3a(b-3a)}{(b-3a)(b+3a)}\right)=

    A questo punto bisogna sommare i monomi simili al numeratore della prima frazione ed eseguire i prodotti nella seconda

    =\left(\frac{a}{a}\right):\left(\frac{-b^2-3ab-1+9a^2+3ab-9a^2}{(b-3a)(b+3a)}\right)=

    Portiamo a termini i calcoli nella seconda coppia di parentesi tonde e semplifichiamo le a nella prima:

    =1:\left(\frac{-b^2-1}{(b-3a)(b+3a)}\right)=

    Trasformiamo la divisione nel prodotto tra il dividendo per il reciproco della frazione divisore e scriviamo il risultato.

    =1\cdot\frac{(b-3a)(b+3a)}{-b^2-1}=-\frac{(b-3a)(b+3a)}{b^2+1}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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