Soluzioni
  • Per risolvere il problema per prima cosa dovremo trovare le coordinate dei punti di intersezione tra la circonferenza e la retta, impostando il seguente sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-4 x+2y-5=0\\ 2x-y+2=0\end{cases}

    Dove la prima è l'equazione della circonferenza, mentre la secondo è l'equazione della retta espressa in forma implicita.

    Per risolvere il sistema non lineare, determiniamo y dalla seconda equazione:

    y=2x+2

    sostituiamola nell'equazione della circonferenza:

    x^2+ (2x+2)^2-4x+2(2x+2)-5=0

    Sommando i termini simili, arriveremo all'equazione di secondo grado:

    5x^2+8x^2+3=0

    che può essere risolto tramite con l'ausilio del delta quarti.

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=4^2-5\cdot 3=1

    Le soluzioni sono date da

    x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-4\pm 1}{5}

    dunque x_1=-1\mbox{ e }x_2= -\frac{3}{5}

    Sostituiamo i valori trovati nell'equazione y=2x+2, così da ottenere:

    y_1=2x_1+2\implies y_1= 2(-1)+2=0

    y_2=2x_2+2\implies y_2=2\left(-\frac{3}{5}\right)+5=\frac{4}{5}

    I punti, estremi della corda, sono:

    A(x_1,y_1)=(-1,0)

    B(x_2, y_2)=\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

    Per determinare la lunghezza della corda sarà sufficiente utilizzare la formula della distanza tra due punti.

    AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+ (y_1-y_2)^2}=\sqrt{(-1+\frac{3}{5})^2+\left(0-\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}

    Risposta di Ifrit
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