Calcolare la lunghezza della corda intercettata dalla retta

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Calcola il valore della lunghezza della corda intercettata dalla circonferenza di equazione x^2+y^2-4x-2Y-5=0 sulla retta 2x -y+2=0.

 

Ciao ragazzi, mi servirebbe una mano per risolvere questo esercizio: spero in un vostro aiuto, grazie anticipatamente!

Domanda di michelle

 
Soluzioni

  • Per risolvere il problema per prima cosa dovremo trovare le coordinate dei punti di intersezione tra la circonferenza e la retta, impostando il seguente sistema:

    x^2+y^2-4 x+2y-5 = 0 ; 2x-y+2 = 0

    Dove la prima è l'equazione della circonferenza, mentre la secondo è l'equazione della retta espressa in forma implicita.

    Per risolvere il sistema non lineare, determiniamo y dalla seconda equazione:

    y = 2x+2

    sostituiamola nell'equazione della circonferenza:

    x^2+(2x+2)^2-4x+2(2x+2)-5 = 0

    Sommando i termini simili, arriveremo all'equazione di secondo grado:

    5x^2+8x^2+3 = 0

    che può essere risolto tramite con l'ausilio del delta quarti.

    (Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = 4^2-5·3 = 1

    Le soluzioni sono date da

    x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (-4±1)/(5)

    dunque x_1 = -1 e x_2 = -(3)/(5)

    Sostituiamo i valori trovati nell'equazione y = 2x+2, così da ottenere:

    y_1 = 2x_1+2 ⇒ y_1 = 2(-1)+2 = 0

    y_2 = 2x_2+2 ⇒ y_2 = 2(-(3)/(5))+5 = (4)/(5)

    I punti, estremi della corda, sono:

    A(x_1,y_1) = (-1,0)

    B(x_2, y_2) = (-(3)/(5), (4)/(5))

    Per determinare la lunghezza della corda sarà sufficiente utilizzare la formula della distanza tra due punti.

    AB = √((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2) = √((-1+(3)/(5))^2+(0-(4)/(5))^2) = (2√(5))/(5)

    Risposta di Ifrit
 
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