Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}

    e determiniamone il dominio. Poiché la funzione è fratta dobbiamo richiedere che il denominatore sia diverso da 0, ossia dobbiamo pretendere che valga l'equazione esponenziale

    1+4e^{x}\ne0\implies e^{x}\ne-\frac{1}{4}

    Poiché la funzione esponenziale è positiva, la relazione è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R} pertanto

    Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)

    Osserviamo che f(x) è una funzione continua su tutto l'asse reale perché funzione composta da funzioni continue, pertanto non possono esserci asintoti verticali.

    Controlliamo i limiti agli estremi del dominio, partendo da quello per x\to-\infty.

    Dall'andamento della funzione esponenziale, deduciamo che per x\to-\infty il termine e^{x}\to0, pertanto:

    \lim_{x\to-\infty}x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}=\left[-\infty\cdot 5\right]=-\infty

    Il limite non è finito, dunque non possono esserci alcun asintoto orizzontale sinistro, ma vi è la possibilità che la funzione ammetta asintoto obliquo sinistro di equazione y=m_1x+q_1 dove m_1 è il coefficiente angolare dell'asintoto, mentre q_1 è l'ordinata all'origine.

    Il coefficiente angolare m_1 è definito mediante il limite

    m_1=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}}{x}=

    Semplifichiamo x e scriviamo il risultato del limite, tenendo conto del fatto che la funzione esponenziale è infinitesima per x\to-\infty

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}=5

    Il coefficiente angolare è dunque m_1=5, ci manca solo l'ordinata all'origine, definita mediante il limite

    \\ q_1=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-m_1x]=\lim_{x\to-\infty}\left(x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}-5x\right)= \\ \\ \\ =\lim_{x\to-\infty}-\frac{23 x e^{x}}{1+4e^{x}}=0

    Il limite è 0 perché l'infinitesimo e^{x} prevale sull'infinito x.

    I passaggi effettuati permettono di scrivere l'equazione dell'asintoto obliquo sinistro

    y=m_1x+q_1\iff y=5x

    Consideriamo il limite per x\to+\infty della funzione f(x)

    \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}=

    che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo risolvere trascurando le costanti additive e semplificando e^{x}

    =\lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{-3e^{x}}{4e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}x\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-\infty

    Certamente la funzione non ammette asintoto orizzontale destro, ma può esserci l'asintoto obliquo destro di equazione y=m_2x+q_2 dove

    m_2=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ q_2=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-mx]

    Impostiamo quindi il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo destro

    m_2=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}}{x}=

    e semplificando x otteniamo il limite equivalente

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}=

    che possiamo risolvere mettendo in evidenza e^{x}

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}\left(\frac{5}{e^{x}}-3\right)}{e^{x}\left(\frac{1}{e^{x}}+4\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{5}{e^{x}}-3}{\frac{1}{e^{x}}+4}=-\frac{3}{4}

    Consideriamo ora il limite che definisce l'ordinata all'origine

    q_2=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-m_2x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}+\frac{3}{4}x\right)=

    Mettiamo in evidenza x ed eseguiamo le operazioni all'interno delle parentesi tonde

    =\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{5-3e^{x}}{1+4e^{x}}+\frac{3}{4}\right)=\lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{23}{4(1+4e^{x})}=0

    Il limite è 0 perché l'esponenziale per x\to+\infty è un infinito di ordine superiore a ogni potenza di x.

    Grazie ai risultati ottenuti, possiamo scrivere l'equazione dell'asintoto obliquo destro

    y=-\frac{3}{4}x

    Ricapitolando, la funzione f(x) ammette due asintoti obliqui, uno sinistro di equazione

    y=5x

    e uno destro di equazione

    y=-\frac{3}{4}x

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi