Problema su parabola e rette tangenti

Ciao, non riesco a svolgere questo esercizio sulle rette tangenti ad una parabola. Mi potete aiutare?

Scrivere equazione parabola y=ax^2+bx+c di vertice (-1;4) e passante per il punto(-3;3). Dal punto A(0;5) condurre le tangenti alla parabola nei punti B e C e trovare perimetro e area del traingolo ABC.

Vi ringrazio molto!

In Superiori - Geometria - Domanda di Mindy

Soluzioni

Dalla condizione sul vertice della parabola (click per le formule) e ricordando le formule per le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria verticale

$x_V=-\frac{b}{2a}=-1$

$y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{2a}=4$

ricaviamo due equazioni: la terza ci viene fornita dalla condizione di passaggio della parabola per il punto

Dobbiamo quindi risolvere il sistema (rimaneggio le prime due equazioni un pochettino)

$\left\{\begin{matrix}b=2a\\ b^2-4ac=-16a\\ 9a-3b+c=3\end{matrix}$

sostituiamo l'espressione della prima nella seconda

questa equazione ha due soluzioni: che non possiamo accettare (altrimenti non avremmo a che fare con una parabola), e

Sostituiamo nuovamente tale espressione nella prima equazione

e poi entrambe le espressioni nella terza equazione

da cui ricaviamo

$c=\frac{15}{4}$

e dunque

$a=-\frac{1}{4}$

$b=-\frac{1}{2}$

La parabola cercata ha equazione

$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}$

Fin qui tutto chiaro?

Namasté!

Risposta di Omega
chiarissimo!

Risposta di Mindy
Ok

Ora vogliamo trovare le tangenti condotte dal punto : determiniamo prima il fascio di rette passanti per il punto , ricorrendo alla classica formula punto-coefficiente angolare

sostituiamo le coordinate di nell'equazione

e mettiamo a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio di rette

$\left\{\begin{matrix}y=mx+5\\ y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}\end{matrix}$

otteniamo così un'equazione di secondo grado

$mx+5=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}$

La condizione di tangenza equivale all'annullamento del discriminante (il che significa: due soluzioni, cioè due punti, coincidenti)

$\Delta=(4m+2)^2-4\cdot 5=0$

questa equazione ammette due soluzioni

$m_{1,2}=\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{5})$

che individuano le due rette tangenti alla parabola.

Ci sei?

Namasté!

Risposta di Omega
ho capito! grazie! :D

Risposta di Mindy
Molto bene!

Ora ti lascio la traccia per concludere l'esercizio (con la quale la questione si ridurrà ai soli calcoli, ma se dovessi avere delle difficoltà...sai cosa fare)

Sostituendo i valori di $m_{1,2}$ nell'equazione del fascio ottieni le due rette tangenti alla parabola: il punto in cui le due rette si intersecano lo conosciamo già, è .

Mettendo a sistema l'equazione della prima retta con l'equazione della parabola da una parte e l'equazione della seconda retta con l'equazione della parabola dall'altra trovi i due punti di tangenza: .

In realtà non serve risolvere i due sistemi, perché puoi ricavarti direttamente dal sistema tra equazione della parabola e equazione del fascio le intersezioni, che dipendono dal parametro . Sostituendo i valori del parametro che abbiamo determinato, trovi direttamente i punti di tangenza, facendo meno conti.

A questo punto calcoli la distanza tra i punti con la solita formula della distanza tra due punti nel piano

$BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}$

e poi calcoli la distanza del punto dalla retta passante per i punti , per cui prima ti ricavi l'equazione della retta per con la formula della retta passante per due punti

$\frac{y-y_B}{y_C-y_B}=\frac{x-x_B}{x_C-x_B}$

e usi la formula per la distanza retta punto: porti la retta per in forma implicita

$dist=\frac{|fx_A+gx_A+h|}{\sqrt{f^2+g^2}}$

dove è l'altezza del triangolo relativa alla base .

Calcola infine l'area del triangolo

$A_{ABC}=\frac{dist\cdot BC}{2}$

Namasté!

Risposta di Omega
grazie mille!

Risposta di Mindy