Soluzioni
  • Dalla condizione sul vertice della parabola (click per le formule) e ricordando le formule per le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria verticale

    x_V=-\frac{b}{2a}=-1

    y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{2a}=4

    ricaviamo due equazioni: la terza ci viene fornita dalla condizione di passaggio della parabola per il punto (-3,3)

    3=9a-3b+c

    Dobbiamo quindi risolvere il sistema (rimaneggio le prime due equazioni un pochettino)

    \left\{\begin{matrix}b=2a\\ b^2-4ac=-16a\\ 9a-3b+c=3\end{matrix}

    sostituiamo l'espressione della prima nella seconda 

    4a^2-4ac=-16a

    4a^2+16a-4ac=0

    a(4a+16-4c)=0

    questa equazione ha due soluzioni: a=0 che non possiamo accettare (altrimenti non avremmo a che fare con una parabola), e 

    a=c-4

    Sostituiamo nuovamente tale espressione nella prima equazione

    b=2c-8

    e poi entrambe le espressioni nella terza equazione

    9(c-4)-3(2c-8)+c=3

    da cui ricaviamo

    9c-36-6c+24+c=3

    4c=15

    c=\frac{15}{4}

    e dunque

    a=-\frac{1}{4}

    b=-\frac{1}{2}

    La parabola cercata ha equazione

    y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}

    Fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • chiarissimo!

    Risposta di Mindy
  • Ok Laughing

    Ora vogliamo trovare le tangenti condotte dal punto A=(0,5): determiniamo prima il fascio di rette passanti per il punto A, ricorrendo alla classica formula punto-coefficiente angolare

    y-y_A=m(x-x_A)

    sostituiamo le coordinate di A nell'equazione

    y=mx+5

    e mettiamo a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio di rette

    \left\{\begin{matrix}y=mx+5\\ y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}\end{matrix}

    otteniamo così un'equazione di secondo grado

    mx+5=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}

    4mx+20=-x^2-2x+15

    x^2+(4m+2)+5=0

    La condizione di tangenza equivale all'annullamento del discriminante (il che significa: due soluzioni, cioè due punti, coincidenti)

    \Delta=(4m+2)^2-4\cdot 5=0

    16m^2+16m+4-20=0

    16m^2+16m-16=0

    m^2+m-1=0

    questa equazione ammette due soluzioni

    m_{1,2}=\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{5})

    che individuano le due rette tangenti alla parabola.

    Ci sei?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ho capito! grazie! :D

    Risposta di Mindy
  • Molto bene! Wink

    Ora ti lascio la traccia per concludere l'esercizio (con la quale la questione si ridurrà ai soli calcoli, ma se dovessi avere delle difficoltà...sai cosa fare)

    Sostituendo i valori di m_{1,2} nell'equazione del fascio ottieni le due rette tangenti alla parabola: il punto in cui le due rette si intersecano lo conosciamo già, è A=(0,5).

    Mettendo a sistema l'equazione della prima retta con l'equazione della parabola da una parte e l'equazione della seconda retta con l'equazione della parabola dall'altra trovi i due punti di tangenza: B,C.

    In realtà non serve risolvere i due sistemi, perché puoi ricavarti direttamente dal sistema tra equazione della parabola e equazione del fascio le intersezioni, che dipendono dal parametro m. Sostituendo i valori del parametro che abbiamo determinato, trovi direttamente i punti di tangenza, facendo meno conti.

    A questo punto calcoli la distanza tra i punti B,C con la solita formula della distanza tra due punti nel piano

    BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}

    e poi calcoli la distanza del punto A dalla retta passante per i punti B,C, per cui prima ti ricavi l'equazione della retta per B,C con la formula della retta passante per due punti

    \frac{y-y_B}{y_C-y_B}=\frac{x-x_B}{x_C-x_B}

    e usi la formula per la distanza retta punto: porti la retta per B,C in forma implicita

    fx+gy+h=0

    dist=\frac{|fx_A+gx_A+h|}{\sqrt{f^2+g^2}}

    dove dist è l'altezza del triangolo ABC relativa alla base BC.

    Calcola infine l'area del triangolo

    A_{ABC}=\frac{dist\cdot BC}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille! 

    Risposta di Mindy
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