Dalla condizione sul vertice della parabola (click per le formule) e ricordando le formule per le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria verticale
ricaviamo due equazioni: la terza ci viene fornita dalla condizione di passaggio della parabola per il punto
Dobbiamo quindi risolvere il sistema (rimaneggio le prime due equazioni un pochettino)
sostituiamo l'espressione della prima nella seconda
questa equazione ha due soluzioni:
che non possiamo accettare (altrimenti non avremmo a che fare con una parabola), e
Sostituiamo nuovamente tale espressione nella prima equazione
e poi entrambe le espressioni nella terza equazione
da cui ricaviamo
e dunque
La parabola cercata ha equazione
Fin qui tutto chiaro?
Namasté!
chiarissimo!
Ok
Ora vogliamo trovare le tangenti condotte dal punto
: determiniamo prima il fascio di rette passanti per il punto
, ricorrendo alla classica formula punto-coefficiente angolare
sostituiamo le coordinate di
nell'equazione
e mettiamo a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio di rette
otteniamo così un'equazione di secondo grado
La condizione di tangenza equivale all'annullamento del discriminante (il che significa: due soluzioni, cioè due punti, coincidenti)
questa equazione ammette due soluzioni
che individuano le due rette tangenti alla parabola.
Ci sei?
Namasté!
ho capito! grazie! :D
Molto bene!
Ora ti lascio la traccia per concludere l'esercizio (con la quale la questione si ridurrà ai soli calcoli, ma se dovessi avere delle difficoltà...sai cosa fare)
Sostituendo i valori di
nell'equazione del fascio ottieni le due rette tangenti alla parabola: il punto in cui le due rette si intersecano lo conosciamo già, è
.
Mettendo a sistema l'equazione della prima retta con l'equazione della parabola da una parte e l'equazione della seconda retta con l'equazione della parabola dall'altra trovi i due punti di tangenza:
.
In realtà non serve risolvere i due sistemi, perché puoi ricavarti direttamente dal sistema tra equazione della parabola e equazione del fascio le intersezioni, che dipendono dal parametro
. Sostituendo i valori del parametro che abbiamo determinato, trovi direttamente i punti di tangenza, facendo meno conti.
A questo punto calcoli la distanza tra i punti
con la solita formula della distanza tra due punti nel piano
e poi calcoli la distanza del punto
dalla retta passante per i punti
, per cui prima ti ricavi l'equazione della retta per
con la formula della retta passante per due punti
e usi la formula per la distanza retta punto: porti la retta per
in forma implicita
dove
è l'altezza del triangolo
relativa alla base
.
Calcola infine l'area del triangolo
Namasté!
grazie mille!
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