Soluzioni
  • Per determinare la risolvente e affrontare il problema con le equazioni, bisogna possedere delle ottime doti interpretative oltre a conoscere le formule che riguardano il rettangolo e il quadrato.

    Il testo fa riferimento infatti alle due figure geometriche - rettangolo e quadrato appunto - di cui conosciamo la lunghezza del lato \ell del quadrato che vale 10\mbox{ cm}. Inoltre la traccia garantisce che il rettangolo e il quadrato sono figure equivalenti, ossia aventi la medesima area.

    Avendo a disposizione \ell, possiamo calcolare l'area del quadrato con la formula:

    \mbox{Area}_{Q}=\ell^2=100\mbox{ cm}^2

    e per via dell'equivalenza, essa coincide con l'area del rettangolo \mbox{Area}_{R}.

    \mbox{Area}_{Q}=\mbox{Area}_{R}

    pertanto l'estensione del rettangolo è

    \mbox{Area}_{R}=100\mbox{ cm}^2.

    Non perdiamo di vista il nostro obiettivo: dobbiamo determinare il perimetro del rettangolo per il quale abbiamo bisogno delle misure delle sue dimensioni.

    Indichiamo con x\ \mbox{e} \ y rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo e traduciamo in linguaggio matematico la frase: "metà della base sommata al doppio dell'altezza è 20\mbox{ cm}"

    \frac{x}{2}+2y=20

    da cui siamo in grado di esprimere l'altezza in termini della base

    2y=20-\frac{x}{2}

    da cui

    y=\frac{20-\frac{x}{2}}{2}\ \ \ \to \ \ \ y=\frac{\frac{40-x}{2}}{2}

    Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

    y=\frac{40-x}{2}\cdot\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ y=\frac{40-x}{4}

    Ora che abbiamo espresso l'altezza in termini della base, possiamo avvalerci della formula per il calcolo dell'area del rettangolo che ci permette di esplicitare l'equazione risolvente

    x\cdot y=\mbox{Area}_{R} \ \ \ \to \ \ \ x\cdot y=100

    Sostituiamo \frac{40-x}{4} al posto di y ricavando così un'equazione di secondo grado nella sola incognita x

    x\left(\frac{40-x}{4}\right)=100

    Eseguiamo a questo punto tutti i passaggi algebrici che ci permettono di esprimerla in forma normale, iniziando dal prodotto al primo membro

    \frac{x(40-x)}{4}=100 \ \ \ \to \ \ \ \frac{40x-x^2}{4}=100

    Portiamo 100 a sinistra dell'uguale cambiandogli il segno, dopodiché calcoleremo il minimo comune multiplo tra i denominatori

    \frac{40x-x^2}{4}-100=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{40x -x^2-400}{4}=0

    Grazie ai principi di equivalenza per le equazioni, possiamo eliminare il denominatore ricavando l'equazione equivalente

    -x^2+40x-400=0

    che, una volta cambiati i segni, diventa

    x^2-40x+400=0

    Indichiamo a questo punto con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto e calcoliamo il discriminante con la formula:

    \Delta=b^2-4ac=(-40)^2-4\cdot 1\cdot 400=1600-1600=0

    Poiché il delta è nullo, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti che si ricavano con la relazione

    x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-40}{2}=20

    Il valore ottenuto rappresenta la base del rettangolo e, con esso, possiamo ricavare la misura dell'altezza grazie all'equazione

    \\ y=\frac{40-x}{4} \\ \\ \\ \ y=\frac{40-20}{4} \mbox{ cm}=\frac{20}{4} \mbox{ cm}=5\mbox{ cm}

    In definitiva, la misura della base e quella dell'altezza del rettangolo sono:

    x=20\mbox{ cm} \ \ \ ; \ \ \ y=5\mbox{ cm}

    e dunque il suo perimetro è

    2p=2(x+y)=2(20+5)\mbox{ cm}=50\mbox{ cm}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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