Soluzioni
  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Hai provato a integrare per sostituzione

    t=\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}

    e ad utilizzare la formula parametrica per il seno

    \sin{(x)}=\frac{2t}{1+t^2}

    ?

    La precedente sostituzione ha come differenziale della trasformazione inversa

    dx=\frac{2}{1+t^2}dt

    per cui possiamo passare a calcolare l'integrale

    \int{\frac{2}{at^2+2bt+a}dt}=\frac{2}{a}\int{\frac{1}{t^2+\frac{2b}{a}t+1}dt}

    e applicare il metodo di integrazione delle funzioni razionali.

    Che ne dici, procediamo? :)

    NAmasté!

    Risposta di Omega
  • si ok procediamo  :)

    Risposta di matteo
  • Ok Laughing

    Chiamiamo c:=2b/a, per cui dobbiamo integrare

    \int{\frac{1}{t^2+ct+1}dt}

    calcoliamo le radici del denominatore

    t_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4}}{2}

    e le chiamiamo d_{1,2}. Il prcedimento che adottiamo ha senso a patto che

    c^2-4>0\to c<d_1\vee c>d_2

    il che vuol dire: il denominatore ha due radici distinte. Cerchiamo una decomposizione dell'integranda della forma

    \frac{1}{t^2+ct+1}=\frac{A}{t-d_1}+\frac{B}{t-d_2}=\frac{At+Bt-Ad_2-Bd_1}{t^2+ct+1}

    chiediamo che

    A+B=0

    -Ad_2-Bd_1=1

    da cui si ricava

    A=-\frac{1}{d_2-d_1}

    e

    B=+\frac{1}{d_2-d_1}

    In questo modo puoi passare ad integrare

    \frac{2}{a}\frac{-1}{d_2-d_1}\int{\frac{1}{t-d_1}dt}+\frac{2}{a}\frac{1}{d_2-d_1}\int{\frac{1}{t-d_2}dt}

    che hanno semplici primitive logaritmiche.

    Nel caso d_1=d_2=:d, l'integrale di partenza è ben più semplice

    \frac{2}{a}\int{\frac{1}{(t-d)^2}dt}

    Fin qui ti torna tutto? :)

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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