Soluzioni
  • Grazie francesca, sappi però che il merito del sette è tutto tuo, noi ti aiutiamo ma se non studi non puoi raggiungere queste soddisfazioni. A nome di tutto lo staff di YM ti ringrazio per quello che hai scritto, ci fa piacere e ci inorgoglisce!! :D

     

    Ad ogni modo andiamo al problema: abbiamo l'equazione della circonferenza:

    \Gamma: x^2+y^2=36

    è l'equazione di una circonferenza di centro (0, 0) e raggio r= 6.

    La prima cosa da fare è determinare le rette tangenti alla circonferenza e parallele alla retta di equazione:

    t:3x-4y+1=

    Scriviamo in forma esplicita la retta t:

    y= \frac{3}{4}x+\frac{1}{3}

    A questo punto consideriamo il fascio improprio di rette parallele a quella data. 

    y= \frac{3}{4}x+q

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2=36\\ y= \frac{3}{4}x+q\end{cases}

    Procedendo per sostituzione otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

    x^2+\left(\frac{3}{4}x+q\right)^2=36

    Espandendo il quadrato e sommando i termini simili otteniamo:

    \frac{25x^2+24q x+16 q^2-576}{16}=0

    25x^2+24q x+16 q^2-576=0

    Calcoliamo il discriminante associato:

    \Delta= (24q)^2-4\cdot 25\cdot(16q^2-576)

    Facendo i conti otterremo che il discriminante associato alla equazione risolvente è:

    \Delta=57600-1024q^2

    Imponiamo la condizione di tangenza tra retta e circonferenza, costringendo a zero il discriminante:

    \Delta=0\iff 57600-1024q^2=0\iff q^2= \frac{57600}{1024}\iff q^2= \frac{225}{4}

    È una equazione pura che ha per soluzioni:

    q_1= -\sqrt{\frac{225}{4}}= -\frac{15}{2}

    q_2= +\frac{15}{2}

    Dunque otteniamo due rette del fascio:

    y= \frac{3}{4}x-\frac{15}{2}

    e

    y= \frac{3}{4}x+\frac{15}{2}

    che sono le equazioni dei primi lati del quadrato

    A questo punto ci mancano le altre due equazioni. Necessariamente devono essere perpendicolari alla retta t questo perché il quadrato ha i lati a due a due perpendicolari. Costruiamo quindi il fascio di rette che sono perpendicolari alla retta t:

    y=-\frac{4}{3}x+q

    Il coefficiente angolare del fascio è dato dalla relazione:

    m_{fascio}= -\frac{1}{m_t}= -\frac{1}{\frac{3}{4}}= -\frac{4}{3}

    è la condizione di perpendicolarità tra due rette (vedi rette perpendicolari).

    A questo punto costruiamo il sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2=36\\ y=-\frac{4}{3}x+q\end{cases}

    Per sostituzione otterremo l'equazione risolvente:

    x^2+\left(-\frac{4}{3}x+q\right)^2-36=0 

    Da cui otteniamo:

    \frac{25x^2-24 q x+9q^2-324}{9}=0

    25x^2-24q x+9q^2-324=0

    Calcoliamo il discriminante associato:

    \Delta= (-24q)^2-4\cdot 25\cdot (9q^2-324)= 32400-324q^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff 32400-324q^2=0

    Quindi

    q^2= \frac{32400}{324}= 100

    Otteniamo due soluzioni:

    q_1= -\sqrt{100}=-10

    q_2= +\sqrt{100}=10

    A questo punto abbiamo due equazioni:

    y= -\frac{4}{3}x-10

    y= -\frac{4}{3}x+10

    che sono le equazioni delle rette degli altri due lati.

    Risposta di Ifrit
 
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