Equazioni dei lati di un quadrato circoscritto

Buon pomeriggio, vi disturbo per un problema sulle equazioni dei lati di un quadrato circoscritto ad una circonferenza. Come al solito confido nel vostro aiuto!

Innanzitutto vi volevo dire che ho preso 7- al compito ed è tutto merito vostro! Grazie mille!

Data la circonferenza x^2+y^2=36, determinare le equazioni dei lati del quadrato ad essa circoscritto avente un lato parallelo alla retta 3x-4y+1=0.

Domanda di Francesca
Soluzione

Grazie francesca, sappi però che il merito del sette è tutto tuo, noi ti aiutiamo ma se non studi non puoi raggiungere queste soddisfazioni. A nome di tutto lo staff di YM ti ringrazio per quello che hai scritto, ci fa piacere e ci inorgoglisce!! :D

Ad ogni modo andiamo al problema: abbiamo l'equazione della circonferenza:

Γ: x^2+y^2 = 36

è l'equazione di una circonferenza di centro (0, 0) e raggio r= 6.

La prima cosa da fare è determinare le rette tangenti alla circonferenza e parallele alla retta di equazione:

t:3x−4y+1 =

Scriviamo in forma esplicita la retta t:

y = (3)/(4)x+(1)/(3)

A questo punto consideriamo il fascio improprio di rette parallele a quella data. 

y = (3)/(4)x+q

Impostiamo il sistema:

x^2+y^2 = 36 ; y = (3)/(4)x+q

Procedendo per sostituzione otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

x^2+((3)/(4)x+q)^2 = 36

Espandendo il quadrato e sommando i termini simili otteniamo:

(25x^2+24q x+16 q^2−576)/(16) = 0

25x^2+24q x+16 q^2−576 = 0

Calcoliamo il discriminante associato:

Δ = (24q)^2−4·25·(16q^2−576)

Facendo i conti otterremo che il discriminante associato alla equazione risolvente è:

Δ = 57600−1024q^2

Imponiamo la condizione di tangenza tra retta e circonferenza, costringendo a zero il discriminante:

Δ = 0 ⇔ 57600−1024q^2 = 0 ⇔ q^2 = (57600)/(1024) ⇔ q^2 = (225)/(4)

È una equazione pura che ha per soluzioni:

q_1 = −√((225)/(4)) = −(15)/(2)

q_2 = +(15)/(2)

Dunque otteniamo due rette del fascio:

y = (3)/(4)x−(15)/(2)

e

y = (3)/(4)x+(15)/(2)

che sono le equazioni dei primi lati del quadrato

A questo punto ci mancano le altre due equazioni. Necessariamente devono essere perpendicolari alla retta t questo perché il quadrato ha i lati a due a due perpendicolari. Costruiamo quindi il fascio di rette che sono perpendicolari alla retta t:

y = −(4)/(3)x+q

Il coefficiente angolare del fascio è dato dalla relazione:

m_(fascio) = −(1)/(m_t) = −(1)/((3)/(4)) = −(4)/(3)

è la condizione di perpendicolarità tra due rette (vedi rette perpendicolari).

A questo punto costruiamo il sistema:

x^2+y^2 = 36 ; y = −(4)/(3)x+q

Per sostituzione otterremo l'equazione risolvente:

x^2+(−(4)/(3)x+q)^2−36 = 0 

Da cui otteniamo:

(25x^2−24 q x+9q^2−324)/(9) = 0

25x^2−24q x+9q^2−324 = 0

Calcoliamo il discriminante associato:

Δ = (−24q)^2−4·25·(9q^2−324) = 32400−324q^2

Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ = 0 ⇔ 32400−324q^2 = 0

Quindi

q^2 = (32400)/(324) = 100

Otteniamo due soluzioni:

q_1 = −√(100) = −10

q_2 = +√(100) = 10

A questo punto abbiamo due equazioni:

y = −(4)/(3)x−10

y = −(4)/(3)x+10

che sono le equazioni delle rette degli altri due lati.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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