Soluzioni
  • Il protagonista del problema è un triangolo rettangolo, di cui conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa BC:

    \bullet\,\,BC=41\,\,cm

    Inoltre l'esercizio fornisce il valore che la tangente assume in \hat{B}

    \bullet\,\, \tan(\hat{B})=\frac{40}{9}.

    Verrà in nostro soccorso la formula della tangente per i cateti di un triangolo rettangolo, che ci assicura la validità della seguente relazione:

    AC=AB\tan(\hat{B})=\frac{40}{9}AB.

    Inoltre per il teorema di Pitagora si ha che:

    AC^2+ AB^2= BC^2\iff \frac{40^2}{9^2}AB^2+AB^2=41^2

    Da cui

    AB^2\left(\frac{40^2}{9^2}+1\right)=41^2

    Eseguendo le operazioni dentro la parentesi tonda

    AB^2\left(\frac{1600+81}{81}\right)=1681

    Da cui

    \frac{1681}{81}AB^2=1681

    Sostanzialmente è una equazione di secondo grado pura, con incognita AB. Risolvendola otterremo che:

    AB^2=81\implies AB= 9\,\,cm

    Osserva che in realtà l'equazione di secondo grado ha per soluzione anche un valore negativo, -9, ma non è accettabile perché stiamo lavorando con lunghezze di segmenti.

    Il cateto AB ha lunghezza 9 cm, mentre il cateto AC vale:

    AC=AB\tan(\hat{B})=\frac{40}{9}\cdot 9= 40\,\,cm

    Abbiamo gli ingredienti per calcolare il perimetro e l'area del triangolo rettangolo:

    A=\frac{AC\cdot AB}{2}=\frac{9\,\,cm\cdot 40\,\,cm}{2}=180\,\,cm^2

    P=AB+BC+CA=40\,\,cm+41\,\,cm+9\,\,cm=90\,\,cm.

    Finito! :)

    Risposta di Ifrit
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