Problema di trigonometria con triangolo rettangolo

Il protagonista del problema è un triangolo rettangolo, di cui conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa BC:

Inoltre l'esercizio fornisce il valore che la tangente assume in

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Verrà in nostro soccorso la formula della tangente per i cateti di un triangolo rettangolo, che ci assicura la validità della seguente relazione:

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Inoltre per il teorema di Pitagora si ha che:

Da cui

Eseguendo le operazioni dentro la parentesi tonda

Da cui

Sostanzialmente è una equazione di secondo grado pura, con incognita . Risolvendola otterremo che:

Osserva che in realtà l'equazione di secondo grado ha per soluzione anche un valore negativo, -9, ma non è accettabile perché stiamo lavorando con lunghezze di segmenti.

Il cateto AB ha lunghezza 9 cm, mentre il cateto AC vale:

Abbiamo gli ingredienti per calcolare il perimetro e l'area del triangolo rettangolo:

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Finito! :)