Formula per la lunghezza della bisettrice di un triangolo

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Devo risolvere un esercizio applicando la formula per la misura delle bisettrici di un triangolo, e avrei veramente bisogno del vostro aiuto.

 

Nel triangolo ABC, il cui lato BC è lungo cm 7, la bisettrice dell'angolo C interseca AB nel punto D distante cm 5 da B. Sapendo che AB*BC = AD^2 - DB^2, determinare il perimetro del triangolo ABC. [Risultato: 40.8]

Domanda di marcolino007

 
Soluzioni

  • Ciao Marcolino007, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ok :) fai così:

    1) Per il teorema della bisettrice sappiamo che

    (AC)/(AD) = (CB)/(DB)

    da cui si ricava

    AC = (7)/(5)AD

    2) Perimetro del triangolo ABC, semplicemente

    2p = AC+AD+DB+BC = (7)/(5)AD+AD+DB+BC = (12)/(5)AD+DB+BC

    per cui il semiperimetro misura

    p = (6)/(5)AD+DB+BC

    ci servirà nella formula per la lunghezza della bisettrice.

    3) Relazione fornita dal testo dell'esercizio

    AB·CD = AD^2-DB^2

    che riscriviamo come

    CD = (AD^2-DB^2)/(AB) = ((AD-DB)(AD+DB))/(AD+DB) = AD-DB

    è la lunghezza della bisettrice.

    4) Formula per la lunghezza della bisettrice

    CD = (1)/(AC+CB)√(AC·CB·p·(p-AB))

    e alla luce di quanto visto nei precedenti punti

    AD-DB = (1)/((7)/(5)AD+CB)·

    √((7)/(5)AD·CB·[(7)/(5)AD+DB+CB]·((7)/(5)AD+DB+CB-AD-DB))

    Risolvendo questa equazione trovi la lunghezza del segmento AD da cui, a ruota, ricavi AC e il perimetro del triangolo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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